Теорема Тёплица (Сильвермана — Тёплица) — результат математического анализа, позволяющий устанавливать на основании сходимости произвольной последовательности сходимость последовательностей взвешенных сумм этой последовательности. Применяется, например, для определения регулярности методов суммирования расходящихся рядов.
Формулируется для бесконечного треугольника комплексных чисел (весов) , : {| class="wikitable" ! ! ! ! ! ! |- ! !
элементы которого удовлетворяют следующим условиям: элементы по столбцам сходятся к нулю: для всякого фиксированного выполняется ; множество сумм модулей элементов по строкам ограничено: ; если последовательность комплексных чисел сходится к , то для — последовательности сумм элементов , взвешенных числами треугольника: выполнено: если , тогда ; если и , то .
Частные случаи Последовательность средних арифметических: при выборе из следует, что последовательность средних арифметических этой последовательности сходится и имеет тот же предел. Это подтверждает регулярность метода Чезаро суммирования последовательностей.
Последовательность средних гармонических: для последовательности , сходящейся к и не содержащей нулей, определяя последовательность средних геометрических и выбирая в теореме Тёплица веса, равными , получается:
для натуральных , а также: , а потому знакопостоянный ряд расходится и . Следовательно, условия теоремы Тёплица выполняются, и имеет место: .
Теорема Штольца может быть рассмотрена как частный случай теоремы Тёплица, если её применить к вещественнозначной последовательности , где также и , с выбором весов , в таком случае получается .
Примечания
Категория:Математический анализ Категория:Ряды и последовательности Категория:Сходимость