О́бласть Ре́йнхарта () — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика .
Синонимы: кратно-круговая область; -круговая область ().
Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным
и обратно: область сходимости любого степенного ряда по
есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром .
Область Рейнхарта есть частный случай круговой области, а также кратно-кругообразной области.
Определение области Рейнхарта Область Рейнхарта () — область комплексного пространства , , имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой
в области лежат также и все точки следующего вида:
или
или
При получаем:
Присутствующая в определении точка называется центром области Рейнхарта.
Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы:
Теорема. Для связной области Рейнхарта , причём начало координат , голоморфная в функция может быть разложена на области в ряд по степеням , причём этот ряд на области и это разложение единственно.
Указанный в теореме ряд в общем случае будет сходиться и за пределами области Рейнхарта, имея своей областью сходимости соответствующую полную область Рейнхарта, в которой содержится исходная область Рейнхарта . Но не любая полная область служит такой областью сходимости ряда.
Полная область Рейнхарта Полная область Рейнхарта () — область Рейнхарта , в которой с каждой точкой
лежит следующий поликруг:
или
или
При получаем:
Полная область Рейнхарта звездообразна относительно своего центра . Примеры полных областей Рейнхарта: шар и поликруг. В случае приведём следующие примеры: неполные области Рейнхарта — кольца , полные области Рейнхарта — круги .
Полная область Рейнхарта , пересекаясь с любой плоскостью
вырезает в ней полный круг.
Область Рейнхарта — наиболее важный вид кратно-кругообразной области. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта , её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта . Так полученная область называется рейнхартовым аналитическим расширением области.
Относительно полная область Рейнхарта Относительно полная область Рейнхарта — область Рейнхарта
которая при постоянном либо совсем не пересекается с плоскостью , либо с каждой точкой включает и все такие точки , для которых
а остальные координаты те же самые, что у , причём это условие выполняется для всех .
Другими словами, когда область Рейнхарта ни с какой плоскостью не пересекается, условие относительной полноты никаких ограничений на такую область Рейнхарта вообще не накладывает. И только при пересечении области Рейнхарта с каждой из плоскостей возникает дополнительное условие.
Логарифмически выпуклая область Рейнхарта Логарифмически выпуклая область Рейнхарта () — область Рейнхарта как логарифмически выпуклое множество.
Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным
и обратно: область сходимости любого степенного ряда по
есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром .
Диаграмма Рейнхарта Поскольку центр области Рейнхарта всегда можно сдвинуть в начало координат комплексного пространства , то можно считать без ограничения общности, что . Область Рейнхарта с так упрощённым описанием инвариантна относительно следующего преобразования:
то есть с любой своей точкой область Рейнхарта включает также и все точки с теми же и всевозможными аргументами.
Отсюда следует, что можно рассмотреть отображение
-мерного пространства в -мерное пространство , точнее говоря, в абсолютный октант }.
Абсолютный октант — восьмая часть -мерного пространства : , где — полуось неотрицательных чисел.
Диаграмма, или изображение, Рейнхарта области () — множество точек абсолютного октанта , в которое переводит область при отображении .
В частности, в случае полной области Рейнхарта диаграмма Рейнхарта есть область и обладает тем свойством, что вместе с каждой точкой в области лежит и весь прямоугольный параллелепипед, или призма, .
Область Рейнхарта полностью характеризуется своей диаграммой Рейнхарта. Например, если связно, то и связно (и наоборот), если открыто, то и открыто.
В случае области Рейнхарта, или двоякокруглой области, расположенной в двумерном комплексном пространстве двух комплексных переменных и , абсолютный октант есть абсолютная четверть-плоскость с координатами и .
Свойство диаграммы Рейнхарта понижать размерность пространства на единиц делает изображение Рейнхарта наглядным для и . На рисунках ниже показаны диаграммы Рейнхарта для и шара и поликруга ; для поликруга изображены множества его границы и его остов .
Пример Рассмотрим некоторое множество с диаграммой Рейнхарта , показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ этого множества показана на рисунке ниже справа.
Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа есть логарифмически выпуклая оболочка множества . Диаграммы Рейнхарта оболочки и исходного множества отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой , поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта , ограничен частью следующей гиперболы: .
Круговая область Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую область.
Круговая область — область комплексного пространства , , имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой в области лежат и все точки вида
другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданную точку и любую точку , с центром и следующим радиусом: .
При получаем:
Присутствующая в определении точка называется центром круговой области.
Синоним: круговое точечное множество.
Круговая область есть частный случай области Хартогса.
Теорема. Для связной круговой области , причём начало координат , голоморфная в функция может быть разложена на области в ряд по однородным многочленам , где — однородный многочлен степени по переменным , причём этот ряд на области и это разложение единственно.
Полная круговая область — круговая область , в которой с каждой точкой лежит весь следующий круг:
При достаточно простое преобразование комплексного пространства вида
переводит круговую область в область Хартогса, причём указанное преобразование определено только на области без начала координат , поскольку оно имеет особенность при .
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ