Логарифми́чески вы́пуклое мно́жество () — понятие вещественного и комплексного анализа, разделов математики, множество комплексного пространства, логарифмический образ которого выпукл в вещественном пространстве.
Определение логарифмически выпуклого множества
Логарифмический образ () множества — множество , где:
Другими словами, это следующее множество:
Логарифмически выпуклое множество () — множество с выпуклым логарифмическим образом .
В терминах определения понятия «выпуклость» это определение перепишется следующим образом: логарифмически выпуклое множество — множество , которое вместе с двумя произвольными своими точками и содержит также и любые точки , для которых
Чтобы избежать не совсем удобных логарифмов, поскольку для получается при некоторых , перепишем определение в следующем виде: логарифмически выпуклое множество — множество , которое вместе с двумя произвольными своими точками и содержит также и любые точки
то есть
Логарифмически выпуклая оболочка множества () — пересечение всех логарифмически выпуклых множеств, содержащих исходное множество , другими словами, наименьшее логарифмически выпуклое множество, содержащее исходное множество .
Например, для множества
логарифмически выпуклая оболочка следующая:
Примеры
Пример 1 Этот пример взят из книги на русском языке, написанной русским математиком.
Рассмотрим некоторое множество с диаграммой Рейнхарта , показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ этого множества показана на рисунке ниже справа.
Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа есть логарифмически выпуклая оболочка множества . Диаграммы Рейнхарта оболочки и исходного множества отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой , поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта , ограничен частью следующей гиперболы: .
Пример 2 Этот и следующий примеры взяты из книги на английском языке, написанной голландскими математиками.
Рассмотрим объединение двух следующих прямоугольников (см. рис. внизу слева):
Логарифмический образ множества есть объединение следующих квадрантов — логарифмических образов данных прямоугольников (см. рис. вверху справа):
которые содержат точки с координатами .
Выпуклая оболочка множества образована точками , которые удовлетворяют следующим условиям (см. рис. вверху справа):
Логарифмически выпуклая оболочка множества образована точками , где , то есть точками , удовлетворяющим следующим условиям (см. рис. вверху слева):
Пример 3
Рассмотрим несвязное множество , представляющее собой объединение изолированной точки
и следующей окрестности нуля в пространстве :
Тогда логарифмически выпуклая оболочка множества содержит множество точек
логарифмический образ которого показан на рисунке справа для двумерного случая.
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ