О́бласть Харто́гса () — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика .
Синоним: полукруговая область.
Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда:
Область Хартогса есть частный случай кругообразной области.
Определение области Хартогса Область Хартогса () — область комплексного пространства , , имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой в области лежат также и все точки следующей окружности:
Так определённая область Хартогса имеет плоскость симметрии .
Область Хартогса имеет следующий автоморфизм:
Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда:
Полная область Хартогса () — область Хартогса , в которой с каждой точкой в области лежит следующий круг:
или
Диаграмма Хартогса
Диаграмма Хартогса — образ области Хартогса с плоскостью симметрии в пространстве размерности , определяемый следующим преобразованием:
где — проекция в , то есть множество всех для .
Диаграмме Хартогса полной области вместе с любой точкой принадлежит и весь следующий отрезок:
Диаграмма Хартогса понижает размерность пространства с областью на единицу и в случае вполне наглядна. На рисунке справа показана неполная область Хартогса, причём точка на этой диаграмме Хартогса представляет окружность, тогда как вертикальный отрезок, основание которого находится в области , — это круг.
На рисунке внизу на диаграмме Хартогса показаны области из пространства : шар и бикруг; для бикруга хорошо просматриваются трёхмерные части его границы и , а также его остов .
Кругообразная область Определение кругообразной области Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную область.
Орбита, порождаемая точкой , — точечное множество в комплексном пространстве вида
где — любая фиксированная точка; — любой комплексный параметр; — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точек.
Кругообразная область — область комплексного пространства , , целиком состоящая из некоторых орбит.
В частном случае при получается круговая область, а при , — область Хартогса.
В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множеством.
Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями была впервые изучена французским математиком А. Картаном.
Завершение кругообразной области Завершение кругообразной области — полученная из исходной кругообразной области минимальная полная кругообразная область , другими словами, это множество дисков
которые соответствуют орбитам, которые составляют исходную кругообразную области .
Синоним: геометрическое завершение кругообразной области.
В произвольной области комплексной плоскости всегда существует некоторая аналитическая функция. Но, с другой стороны, пространство переменных
содержит такие пары областей , , , что любая функция, аналитическая в , остаётся аналитической и в . Этот факт, который имеет место при аналитическом продолжении, относится только к природе комплексной области , а не к любой аналитической функции, которая определенна в . Этот факт называется аналитическим расширением (), а область называется аналитическим расширением области .
Теорема. Завершение кругообразной области есть тоже область пространства. Область есть аналитическое расширение области в том случае, когда начало координат принадлежит области .
Кратно-кругообразная область Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной области.
Введём следующие параметров и организуем их в следующие одночленов
где показатели степени — неотрицательные целые числа.
Пусть определение орбиты следующее:
а определение диска соответственно такое:
Кратно-кругообразная область — область комплексного пространства , , целиком состоящая из некоторых этих орбит.
Теорема для кругообразной области остаётся истинной и для кратно-кругообразной области:
Теорема. Завершение кратно-кругообразной области есть тоже область пространства. Область есть аналитическое расширение области в том случае, когда начало координат принадлежит области .
При и получается наиболее важный вид кратно-кругообразной области, а именно область Рейнхарта. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта , её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта . Так полученная область называется рейнхартовым аналитическим расширением области.
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ