Неограни́ченная фу́нкция в грани́чной то́чкеПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи — понятие комплексного анализа, раздела математики, аналитическая функция , заданная в области комплексного пространства с некоторой граничной точкой такой, что найдётся последовательность точек области такая, что и .
Замечание 1. Русская и английская математическая традиция передаёт это понятие словесно одинаковыми достаточно длинными терминами: неограниченная функция в граничной точке ().
Барьер, или граничное свойство, граничной точки области — голоморфная в области функция такая, что для любого множества , компактного в , , и любого , но при этом найдётся такая точка в окрестности точки , что , другими словами, функцию нельзя голоморфно продолжить в точку .
Замечание 2. Русская математическая традиция передаёт это понятие в терминах функции-барьера, определённой для данной граничной точки: барьер, тогда как английская математическая традиция — в терминах свойства данной граничной точки: граничное свойство (). В этой статье использована русская математическая традиция.
Теорема 1. Если функция голоморфна в области и неограниченна в точке , то в точке имеется барьер.
Доказательство. Действительно, для любого множества , компактного в , , и для любого имеется функция-барьер .
Верно не только утверждение, обратное к предыдущему, но и следующее гораздо более сильное предложение.
Теорема 2. Если все точки любого множества имеют барьер, то найдется функция, голоморфная в области и неограниченная во всех точках .
Примечания
Источники
Категория:Общая топология Категория:Многомерный комплексный анализ