Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).
Точечный базис (иногда используется — C. 197. термин «базис барицентрических координат») в -мерном аффинном пространстве представляет собой систему из -й точки , которые предполагаются аффинно независимыми (т. е. не лежат в -мерном подпространстве рассматриваемого пространства).
Определение
Пусть есть произвольная точка в . Каждая точка может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации
барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию
Числа и называются барицентрическими координатами точки . Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора .
Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:
Свойства Барицентрические координаты аффинно инвариантны. Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в неотрицательны и их сумма равна единице. Обращение в нуль барицентрической координаты равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин. В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой . В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением. Для точки , лежащей внутри треугольника , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников . Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если — барицентрические координаты точки относительно треугольника , а — длины его сторон, то
её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности. Точка является центром масс грузиков с массами , расположенных в точках .
История Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.
Примечания
Литература
См. также Трилинейные координаты Аффинные преобразования Аффинное пространство
Категория:Аффинная геометрия Категория:Системы координат