Колчан — ориентированный граф, где разрешены петли и кратные рёбра. Колчаны обычно используются в теории представлений. Представление колчана сопоставляет каждой вершине колчана векторное пространство и каждому ребру линейное отображение .
Определение
Колчан состоит из: Множества вершин Множества ребер Двух функций: , задающей «начало» ребра, и ещё одной функции, , задающей «конец» ребра.
Это определение идентично определению мультиграфа.
Морфизм колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра. Обозначим два колчана как и . Тогда морфизм этих колчанов состоит из двух функций и таких, что следующие диаграммы коммутируют:
То есть,
и
Теорема Габриэля
Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизма . классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Теорема Габриэля утверждает, что
(Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его базовый граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из диаграмм Дынкина по классификации ADE: . Неразложимые представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.
См. также
ADE-классификация Групповое кольцо Торическое многообразие
Примечания
Книги
Записи лекций
Quiver representations in toric geometry
Исследование Projective toric varieties as fine moduli spaces of quiver representations
Источники
. Victor Kac, "Root systems, representations of quivers and invariant theory". Invariant theory (Montecatini, 1982), pp. 74–108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlin 1983.
И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, В. А. Пономарев, Функторы Кокстера и теорема Габриеля, УМН, 28:2(170) (1973), 19–33; Russian Math. Surveys, 28:2 (1973), 17–32.
Категория:Теория категорий Категория:Теория представлений Категория:Ориентированные графы