Метод Декарта-Эйлера — один из способов решения алгебраического уравнения четвёртой степени, названный в честь Рене Декарта и Леонарда Эйлера .
История Идея сведения решения уравнения четвёртой степени к кубическому восходит к Рене Декарту (1637), который использовал подобный подход в своей работе «Геометрия». Леонард Эйлер (1744) в своей работе «Универсальная арифметика» существенно развил и систематизировал метод, придав ему ту форму, в которой он обычно излагается. Поэтому метод носит имена обоих учёных.
Описание метода Метод Декарта — Эйлера для решения уравнений четвёртой степени основан на замене переменных и приведении уравнения к кубической форме. Этот метод позволяет эффективно получить решение уравнения четвертой степени по сравнению с методом Феррари. Для уравнения четвёртой степени вида , найти такое кубическое уравнение вида с корнями , которые различными сочетаниями дает корни исходного уравнения четвёртой степени
Математически, для уравнения
Где — корни кубического уравнения вида
Доказательство Имеем уравнение вида
Путем замены , получаем , где
Представим корень как сумму , в таком случае
Преобразовав получим
Пусть и , тогда
Вспомним теорему Виета для кубического уравнения вида
Заменяя , получим уравнение вида
Находя корни , находим ; ;
Так как и подставив, получаем
Различными сочетаниями знаков, при соблюдении условия
получаем 4 корня исходного уравнения
См. также Теорема Абеля — Руффини Уравнение четвёртой степени Биквадратное уравнение Метод Феррари Формула Кардано Кубическое уравнение Квадратное уравнение
Примечания
Ссылки Татьяна Александровна Оболдина, Полина Евгеньевна Кед Методы решения уравнений четвертой степени cyberleninka.ru Файловый архив студентов StudFiles Решение алгебраических уравнений в «Универсальной арифметике» Л. Эйлера
Категория:Многочлены Категория:Алгебраические уравнения