Усечённая четырёх-шестиугольная мозаикаТипГиперболическая однородная мозаикаКонфигурация вершины 4.8.12Символ Шлефли t{6,4} или Символ Витхоффа 2 6 | 4 Симметрии [6,4], (*642) Диаграммы Коксетера — Дынкина или Двойственные соты кис-ромбическая мозаика порядка 4-6 СвойстваИзогональная Усечённая четырёх-шестиугольная мозаика — это a полурегулярная мозаика на гиперболической плоскости. В этой мозаике в каждой вершине сходятся один квадрат, один восьмиугольник, и один двенадцатиугольник. Мозаика имеет символ Шлефли tr{6,4}.
Двойственная мозаика
Двойственная мозаика называется кис-ромбической мозаикой порядка 4-6, состоящей из полного разбиения Префикс кис- и означает такое разбиение.. На рисунке треугольники показаны в чередующихся цветах. Эта мозаика представляет фундаментальную треугольную область с симметрией [6,4] (*642).
Связанные многогранники и мозаики
Согласно построению Витхоффа существует 14 гиперболических одородных мозаик, базирующихся на правильной шестиугольной мозаике порядка 4.
Если рисовать мозаики с выделенными красным цветом исходными фигурами, жёлтым цветом исходными вершинами и синим цветом исходными рёбрами, получим 7 рисунков с полной [6,4] симметрией и 7 с подсимметрией.
Симметрия
Мозаика, двойственная рассматриваемой, представляет фундаментальную область (*642) с симметрией. Из симметрии [6,4] следует, что имеется 15 подгрупп малого индекса, получаемых удалением зеркального отражения и операцией . Отражения могут быть удалены, если все порядки ветвей чётны. Удаление двух отражений оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал. В этих рисунках оси отражений (зеркала) показаны красным, зелёным и синим цветом, а треугольники с чередующейся окраской показывают положение точек вращения. Подгруппа [6+,4+], (32×) имеет тонкие линии, представляющие скользящие отражения. Группа [1+,6,1+,4,1+] (3232) с индексом 8 является коммутантом группы [6,4].
Бо́льшая подгруппа, построенная как [6,4*] путём удаления точек вращения [6,4+], (3*22) с индексом 6 становится (), а группа, построенная как [6*,4] путём удаления точек вращения [6+,4], (2*33) с индексом 12 становится (). Наконец, их прямые подгруппыВ группах Коксетера прямыми подгруппами называются подгруппы, имеющие прямой изоморфизм (без симметрии). В этом контексте прямой изоморфизм - это изоморфизм, сохраняющий хира́льность. Полупрямые подгруппы могут включать как отрражающие, так и неотражающие генераторы. [6,4*]+, [6*,4]+, с индексами 12 и 24 соответственно, можно задать в орбифолдной нотации как (3333) и (222222).
Подгруппы [6,4] с малым индексомИндекс124Диаграмма[6,4] = = [1+,6,4] = [6,4,1+] = = [6,1+,4] = [1+,6,4,1+] = [6+,4+]Генераторы{0,1,2}{1,010,2}{0,1,212}{0,101,2,121}{1,010,212,20102}{012,021}32×Полупрямые подгруппыДиаграмма Коксетер[6,4+][6+,4][(6,4,2+)][6,1+,4,1+] = = = = [1+,6,1+,4] = = = = Генераторы{0,12}{01,2}{1,02}{0,101,1212}{0101,2,121}Орбифолд4*36*22*322*333*22Прямые подгруппыИндекс248Диаграмма Коксетер[6,4]+ = [6,4+]+ = [6+,4]+ = [(6,4,2+)]+ = [6+,4+]+ = [1+,6,1+,4,1+] = = = Генераторы{01,12}{(01)2,12}{01,(12)2}{02,(01)2,(12)2}{(01)2,(12)2,2(01)22}Орбифолд64244366232223232Радикальные подгруппыИндекс8121624ДиаграммаКоксетер[6,4*] = [6*,4][6,4*]+ = [6*,4]+Орбифолд3333222222
См. также Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Примечания
Литература
Ссылки
Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch
Категория:Гиперболические мозаики Категория:Изогональные мозаики Категория:Полуправильные мозаики Категория:Усечённые мозаики