Аналитическая теория дифференциальных уравнений — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решения исследуются с точки зрения теории аналитических функций.
Типичная постановка задачи: дан класс дифференциальных уравнений, все решения которых — аналитические функции одной переменной, требуется выяснить специфические свойства этих функций.
История теории Аналитическая теория дифференциальных уравнений стала развиваться в начале XIX века на основе развитых методов теории функций комплексного переменного. Многие понятия и методы сформулированы в рамках классического анализа XVIII — начала XIX века, но получили отдельное название. Окончательное оформление аналитическая теория получила в работах Шарля Огюста Брио, Жан-Клода Буке, Бернхарда Римана и Лазаря Фукса.
Основные понятия Решение дифференциального уравнения — функция, при подстановке которой и её производных исходное уравнение становится тождеством. Частное решение — решение, которое в каждой точке сохраняет единственность. Общее решение (общий интеграл) — решение, из которого можно получить частные решения. Произвольные постоянные — параметры, число которых равно порядку дифференциального уравнения.
Метод решения В аналитической теории дифференциальных уравнений используются, например: Метод разделения переменных — решение уравнения сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом переменных. Метод нормальных форм — позволяет привести дифференциальное уравнение к простейшему виду в окрестности особой точки.
Примеры задач Задача Коши — найти интегральную кривую дифференциального уравнения, которая проходит через заданную точку. Задача о движении материальной точки — решить дифференциальное уравнение, описывающее движение, и зафиксировать произвольные постоянные, задав начальный путь и начальную скорость. Окончательное оформление аналитическая теория получила в работах Брио, Буке, Римана и Фукса.
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Уравнения