Прямо́е алгебраи́ческое дополне́ние подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство.
Формально определение прямого алгебраического дополнения можно записать следующим образом. Рассмотрим векторное, оно же линейное, пространство и его векторное подпространство . Тогда любое векторное подпространство называется прямым алгебраическим дополнением подпространства , если любой вектор однозначно разлагается на следующую сумму: , , .
Условия этого определения эквивалентно следующим равенствам: , .
Прямое алгебраическое дополнение существует в любом случае. Для его построения выбирается произвольный базис подпространства и затем он любым способом расширяется до базиса пространства , в итоге получается, что базис порождает векторное подпространство, которое служит алгебраическим дополнением подпространства .
Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение () подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны.
Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение.
Важны два простейших случая прямого алгебраического дополнения на плоскости и в трёхмерном пространстве.
Рассмотрим две непараллельные прямые (в смысле пересекающиеся в одной точке) и на плоскости.
Тогда имеет место «теорема о векторной проекции»: задание на плоскости любого базиса , дает возможность поставить в соответствие любому вектору плоскости пару векторов и , которые суть проекции вектора на направление одного из векторов базиса по направлению другого вектора, причём их сумма равна вектору : , , .
Рассмотрим плоскость и не параллельную ей прямую (в смысле пересекающиеся в одной точке) и в трёхмерном пространстве.
Пусть , , — координаты вектора в базисе , , , то есть , тогда верны следующие формулы: , .
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Векторы