Определитель Кэли — Менгера позволяет выразить объём -мерного симплекса через квадраты его рёбер, что обобщает формулу Герона. Он также используется в задаче определения можно ли данный набор расстояний между конечным числом точек реализовать в Евлидовом пространстве.
Назван в честь Артура Кэли и Карла Менгера.
Определение Пусть — точки в -мерном евклидовом пространстве, с . Эти точки являются вершинами -мерного симплекса: треугольника при , тетраэдра при и так далее. Пусть — евклидовы расстояния между вершинами и . -мерный объем этого симплекса, обозначаемый символом , может быть выражен через определитель следующим образом:
Значение первого определителя и называется определителем Кэли — Менгера.
Свойства
Для набора из трёх неотрицательных чисел , неотрицательность определителя Кэли — Менгера эквиалента выполнению всех трёх неравенств треугольника
В случае с , мы получаем формулу Герона
где обозначает площадь треугольника со сторонами , и .
При определитель Кэли — Менгера является симметричным многочленом от . При это уже не выполняется, но определитель остаётся инвариантным относительно перестановки вершин.
Из равенства следует, что у любого набора точек евклидова пространства определитель Кэли — Менгера неотрицателен. Теорема Менгера характеризует метрики на конечном множестве точек , которые допускают изометрическое вложение в евклидово пространство. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определители Кэли — Менгера всех поднаборов были неотрицательны.
Литература
Категория:Определители