Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярныхТо есть содержащих дивергенции векторных полей, являющиеся скалярами.) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных и псевдовекторных функций (). Запись уравнений Максвелла и других законов электродинамики отличается в различных системах единиц; в связи с этим все соотношения далее приводятся в двух вариантах — в международной системе единиц (СИ) и в симметричной гауссовой СГСУравнения Максвелла в других вариантах СГС и в универсальном виде, не зависящем от выбора системы единиц, см. в статье ., если они по-разному записываются в этих системах. Название СГС СИ Примерное словесное выражение Закон Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции. Закон Гаусса для магнитного поля Магнитные заряды не обнаруженыЕсли свободные магнитные монополи будут экспериментально обнаружены, это потребует введения в закон Гаусса для магнитного поля плотности магнитных зарядов и плотности их токов в закон индукции Фарадея.. Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле. Теорема о циркуляции магнитного поля Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные и псевдовекторные величины, курсивом — скалярные.
Введённые обозначения: — объёмная плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м3); — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м2); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с )Например, в проводнике обычно присутствуют носители заряда как минимум двух типов разного знака, поэтому суммарная плотность заряда в проводнике может быть равна нулю, а ток тем не менее может присутствовать (и его плотность тогда нулю не равна).; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей; — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с); — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м); — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м); — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м2); — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м2 = кг•с−2•А−1); — дифференциальный оператор набла, при этом: означает ротор вектора , означает дивергенцию вектора . Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.
Уравнения Максвелла в интегральной форме При помощи формулы Остроградского — Гаусса и теоремы Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:
Название СГС СИ Примерное словесное выражение Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме, ограниченном этой поверхностью. Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не обнаружены). Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности . Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Введённые обозначения: — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ). — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл); — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).
При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .
Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.
Сила Лоренца
При решении уравнений Максвелла распределения зарядов и токов часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля и магнитную индукцию , которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд , движущийся со скоростью . Эта сила называется силой Лоренца:
СГССИ
Электрическая составляющая силы направлена параллельно электрическому полю, а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году ХевисайдO. Haviside, «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric» , Phil.Mag. S.5 27, p. 324, 1889. за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.
В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями. Важным примером такой системы уравнений для самосогласованного поля являются уравнения Власова — Максвелла, описывающие динамику плазмы.
Размерные константы в уравнениях Максвелла В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа , имеющая размерность скорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе светаКарцев В. П. «Приключения великих уравнений», М.: Знание, 1986.).
В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме, вводится электрическая постоянная (). Магнитная постоянная является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме (). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия электрическая (диэлектрическая) и магнитная проницаемости вакуумаMohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633—730. ..
Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводе волнового уравнения:
В системе единиц СИ в качестве точной размерной константы определена скорость света в вакууме , а магнитная постоянная после изменения 2018—2019 годов является экспериментально определяемой величиной. Через них выражается электрическая постоянная .
Значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице: Символ Наименование Численное значение Единицы измерения СИ Постоянная скорости света (точно) м/с Магнитная постоянная Гн/м Электрическая постоянная Ф/м Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением вакуума», или «импедансом» вакуума: Ом. В системе СГС . Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме. Однако приписать этой величине физический смысл волнового сопротивления нельзя, поскольку в той же системе СГС её размерность не совпадает с размерностью сопротивленияСена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с., ил. ISBN 5-02-013848-7, § 7.5..
Уравнения Максвелла в среде Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины , , , , , в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами , , с одной стороны и , с другой стороны.
Связанные заряды и токи
При приложении электрического поля к диэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический диполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется поляризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации, остаются нейтральными (см. рисунок).
Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагничивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют магнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).
Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.