Контур Ганкеля — путь в комплексной плоскости, который проходит от вокруг начала координат против часовой стрелки и обратно по , где — сколь угодно малое положительное число. Таким образом, контур остаётся сколь угодно близким к действительной оси, но не пересекает действительную ось, за исключением отрицательных значений . Контур Ганкеля также может быть представлен путём, который включает зеркальные отражения чуть выше и ниже действительной оси, соединённые с окружностью радиуса с центром в начале координат, где — сколь угодно малое число. Говорят, что две линейные части контура находятся на расстоянии от действительной оси. Таким образом, общее расстояние между линейными частями контура равно . Контур обходится в положительно-ориентированном направлении, что означает, что окружность вокруг начала координат обходится против часовой стрелки.
Общая логика заключается в том, что и бесконечно малы, а контур интегрирования не охватывает ни одной неаналитической точки интегрируемой функции, за исключением, возможно, нулевой. При этих условиях, согласно теореме Коши, значение интеграла одинаково не зависит от и . Обычно вычисления состоят в том, чтобы сначала вычислить интеграл для ненулевых значений и , а затем устремить их к .
Использование контуров Ганкеля является одним из методов контурного интегрирования. Этот приём был впервые явно использован Германом Ганкелем при исследовании гамма-функции, хотя Риман уже неявно использовал его в своей работе о дзета-функции Римана в 1859 году.
В общем виде контур Ганкеля делится на три части:
Интегрирование выполняется по зелёной полуоси, расположенной выше оси , справа налево от бесконечности до точки , затем по части красной окружности — против часовой стрелки до точки и, наконец, по синей полуоси, расположенной ниже оси , слева направо до бесконечности. и все числа горизонтальной оси справа от него имеют комплексную часть . Наоборот, и все числа горизонтальной оси справа от него имеют комплексную часть . Таким образом, интеграл вычисляется по каждому пути отдельно, а затем суммируется.
Контур Ганкеля используется для вычисления таких интегралов, как гамма-функция, дзета-функция Римана и другие функции Ганкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода). Например, выражение контурного интеграла гамма-функции: .
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Специальные функции Категория:Комплексный анализ