Теорема Кавасаки или Теорема Кавасаки — Жастина — это теорема математики оригами, которая описывает паттерны (схемы складок) с единственной вершиной, которые могут быть сложены в плоскую фигуру. Теорема утверждает, что паттерн складывается в плоскую фигуру тогда и только тогда, когда поочерёдное прибавление и вычитание углов между складками вокруг вершины приводит к знакопеременной сумме с нулевым значением. Паттерны с числом вершин, большим единицы, не подчиняются такому простому критерию и их складывание NP-трудно.

Теорема названа именем одного из её открывателей, Тошиказу Кавасаки (Toshikazu Kawasaki). Однако, некоторые другие исследователи также внесли вклад в её открытие и она иногда называется теоремой Кавасаки — Жастина или теоремой Хусими по имени других исследователей, Жака Жастина и Коди ХусимиИмя «Yasuji Husimi» (Ясуджи Хусими), появившееся в работе Кавасаки (Kawasaki, 2005) и иногда ассоциирующееся с данной теоремой, является неправильным прочтением кандзи написания «康治» имени Коди Хусими..

Утверждение Паттерн с одной вершиной состоит из набора лучей или складок, нарисованных на листе бумаги и исходящих из одной точки внутри листа. (Эта точка называется вершиной паттерна.) Каждая складка должна быть сложена, но паттерн не указывает, должна быть складка типа «гора» или «долина». Цель — определить, можно ли сложить бумагу так, что сгиб будет по каждой складке и никаких сгибов не будет в других местах, а результат складывания листа окажется плоским.

Чтобы получить плоскую фигуру, число складок должно быть чётным. Это следует, например, из теоремы Маэкавы, которая утверждает, что число складок типа «гора» на сложенном в вершине листе отличается от складок типа «долина» ровно на два сгиба Предположим, что паттерн состоит из складок, и пусть будут последовательные углы между складками вокруг вершины по часовой стрелке, начиная с любого из углов. Тогда теорема Кавасаки утверждает, что паттерн может быть сложен плоско тогда и только тогда, когда знакочередующийся ряд углов даст в результате ноль:

Эквивалентный способ утверждения того же условия — разбить на две чередующиеся последовательности, тогда сумма углов в каждой из этих последовательностей в точности равна 180 градусам. Однако это условие применимо только к паттерну на плоском листе бумаги, в то время как условие со знакопеременной суммой остаётся справедливым для паттернов на коническом листе бумаги с ненулевым дефектом в вершине.

Локальная и глобальная складываемость в плоскую фигуру Теорема Кавасаки, применённая к каждой вершине произвольного паттерна, определяет, допускает ли паттерн локально плоское складывание, в смысле, что часть паттерна рядом с вершиной может быть сложена плоско. Однако, существуют паттерны, которые локально складываются плоско, но не допускают глобального плоского складывания (для всего паттерна в целом). Томас Халл высказал предположение, что глобальная складываемость в плоскую фигуру может быть проверена путём проверки условий теоремы Кавасаки в каждой вершине паттерна, а затем также проверки двудольности неориентированного графа, связанного с паттерном. Однако эту гипотезу опровергли Берн и Хейз, которые показали, что условия Халла не достаточны. Более строго, Берн и Хейз показали, что задача проверки, возможно ли глобальное складывание в плоскую фигуру, является NP-полной задачей.

Доказательство Чтобы показать, что условие Кавасаки обязательно выполняется для любой сложенной плоской фигуры, достаточно заметить, что при каждом сложении ориентация бумаги обращается. Тогда, если первая складка в сложенной плоской фигуре расположена на плоскости параллельно оси , следующая складка должна быть повёрнута от этой складки на угол , складка после этого помещается на угол (поскольку второй угол имеет обратную ориентацию по отношению к первому), и так далее. Чтобы лист при сложении попал в начальную позицию с конечным углом, условие Кавасаки должно выполняться.

Чтобы показать, что условие также является достаточным, нужно описать, как складывать данный паттерн, чтобы получить плоскую фигуру. То есть, нужно показать, как выбирать тип сгибания («гора» или «долина»), и в каком порядке сгибания бумаги должны осуществляться. Один способ осуществить это — выбрать номер так, что частичная знакопеременная сумма

будет как можно меньше. Тогда либо и частичная сумма является пустой суммой (а значит, тоже равной нулю), либо для некоторого ненулевого частичная сумма будет отрицательной. Складываем гармошкой паттерн, начав с угла , и чередуем гору и долину, помещая каждый угловой клин бумаги под предыдущими складками. На каждом шаге вплоть до конечного сгиба складки гармошкой такого типа никогда не будут самопересекаться. Выбор гарантирует, что первый клин будет выступать слева от всех остальных сложенных частей листа, позволяя последнему клину соединиться с ним.

Альтернативное доказательство достаточности может быть использовано, чтобы показать, что имеется много различных плоских складываний. Рассмотрим наименьший угол и две складки по обе стороны этого угла. Используем тип «гора» для одной складки и тип «долина» для другой, произвольно выбирая, какую складку использовать для каждой складки. Затем приклеиваем получившийся кусок в оставшуюся часть паттерна. Результат этого приклеивания будет паттерн с меньшим числом складок (на две меньше) на коническом листе бумаге, который продолжает удовлетворять условию Кавасаки. Следовательно, по индукции, повторение этого процесса в конечном итоге приведет к плоскому складыванию. База индукции — конус только с двумя сгибами и двумя равноугольными клиньями, который очевидно может быть сложен в плоскую фигуру с помощью складывания «гора» в обоих складках. Имеется два пути выбора, какую складку использовать на каждом шаге этого метода, и каждый шаг исключает две складки. Поэтому любой паттерн с складками, который удовлетворяет условию Кавасаки, имеет по меньшей мере различных выборов сгибания типа «гора» или «долина», которые ведут к плоскому сложенному результату.

История В конце 1970-х Коди Хусими и Дэвид Хаффман независимо заметили, что противоположные углы сложенных плоских фигур с четырьмя складками в сумме дают 180°, что является частным случаем теоремы Кавасаки. Хаффман включил этот результат статью 1976 об оригами, а Хусими опубликовал теорему о четырёх складках в книге о геометрии оригами (совместно с женой Мицуэ Хусими). Тот же результат был опубликован даже ранее в паре статей 1966 года С. Мураты, где был включён случай шести складок и общий случай теоремы Маэкавы.

Факт, что паттерн с произвольным числом складок обязательно имеет чередующиеся суммы углов 180°, был открыт Кавасаки, Стюартом Робертсоном и Жаком Жастином (опять же, независимо друг от друга) в конце 1970-х годов и начале 1980-х. Ввиду вклада Жастина теорема Кавасаки называют также теоремой Кавасаки — Жастина. Факт, что условие достаточно, то есть, что паттерны с чётным числом углов, которые поочерёдно в сумме дают 180°, могут всегда быть сложенными, впервые утверждал Халл.

Сам Кавасаки называл результат теоремой Хусими и некоторые авторы последовали также этой терминологии. Название «теорема Кавасаки» впервые было дано в книге Origami for the Connoisseur (Оригами для Знатоков) Кунихико Касахары и Тоши Такахамы.

Халл приписывает нижнюю границу в для числа различных плоских складываний паттерна, удовлетворяющего условиям теоремы, независимым работам в начале 1990-х годов Азумы, Жастина, Эвинса и Халла.

Хотя теорема Кавасаки полностью описывает паттерны, которые дают в результате плоский результат, она не описывает процесс складывания, приводящий к этому состоянию. Для некоторых (имеющих несколько вершин) паттернов необходимо согнуть бумагу в процессе складывания из листа в сложенный плоский объект, а не сохранять остаток бумаги плоским и менять только двугранные углы при каждом складывании. Для жёсткого оригами (раздел оригами, имеющий дело с плоскими жёсткими листами, соединёнными шарнирами), условие теоремы Кавасаки оказывается достаточным для паттерна с одной вершиной, чтобы он перешёл из развёрнутого состояния (из листа) в сложенное плоско состояние.

Примечания

Ссылки

Категория:Математические теоремы Категория:Оригами