Направле́ние — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними, то есть общий последующий. В качестве знака бинарного отношения направления обычно используют символ меньше или равно .
Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления.
Обычно направление считается нестрогим, как описано выше. Рассматривают также строгое направление — строгий порядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними.
Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий.
Считается, что понятие направления и обобщённого предела возникло в общей теории пределов, разработанной русским математиком Самуилом Шатуновским в 1906—1907 годах, который называл направленное множество «расположенным», а также было предложено Муром и Смитом независимо в 1915—1922 годах.
Краткая история Русский и советский математик Дмитрий Крыжановский первый использовал обобщённый предел Шатуновского при определении обыкновенного интеграла в 1913—1916 годах. Советский математик Андрей Колмогоров использовал предел Шатуновского — Мура для принципиального обобщения понятия интеграла (1930).
Американский математик Элиаким Мур (1915) занимался суммируемостью неупорядоченных рядов. На базе этого исследования совместными усилиями Мура и американского математика (1922) выросла общая теория сходимости по Муру — Смиту.
Американский математик Гаррет Биркгоф (1948) обобщил эту теорию на общую топологию.
Определение Направление (нестрогое) — бинарное отношение порядка на некотором непустом множестве , которое задаётся следующими двумя аксиомами предпорядка и одной специальной аксиомой: (D1) отношением транзитивности: для любых , , всегда выполняется ; (D2) отношением рефлексивности: для каждого всегда выполняется ;
(D3) свойством Мура — Смита (отношением иерархичности): для любых найдётся такой, что , . Для свойства Мура — Смита не имеет значения, , или , или ни то и ни другое.
Синонимы: направленный предпорядок; фильтрованное множество.
Другими словами, направление — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними. Такое направление есть также направление в смысле общей теории пределов, если считать отношение следования отношением включения множеств.
Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления.
В качестве знака бинарного отношения направления обычно используют символ меньше или равно .
Говорят, что элемент следует за элементом при упорядочении , или элемент предшествует элементу , если и только если .
Свойство Мура — Смита допускает наличие в множестве последнего элемента для (нестрогого) направления, как в примере 1.
Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий.
Примеры Приведём несколько естественных примеров множеств, направленных отношениями.
1. Вещественные числа, как и натуральные числа с нулём, направлены отношением порядка . Причём число следует за любым натуральным числом относительно порядка .
2. Множество всех окрестностей любой точки топологического пространства направлено отношением включения , поскольку пересечение двух окрестностей есть снова окрестность, причём она следует за каждой из двух исходных окрестностей относительно порядка .
3. Множество всех конечных подмножеств любого множества направлено отношением включения .
4. Произвольное множество становится направленным, если для любых двух его элементов и верно , то есть каждый элемент следует за любым элементом, в том числе и за собой.
Место в ряду других бинарных отношений Бинарное отношение на некотором множестве — произвольное подмножество прямого произведения : . На бинарных отношениях существуют теоретико-множественные операции объединения , пересечения , дополнения , принадлежности , разности , а также :
и обратное отношение : .
На множестве имеется также единичное отношение диагональ : .
Бинарное отношение рефлексивно при , симметрично при , антисимметрично при , транзитивно при и иерархично при .
Существуют следующие частные случаи предпорядка, то есть рефлексивного и транзитивного отношения: порядок — антисимметричный предпорядок ; эквивалентность — симметричный предпорядок ; направление — иерархичный предпорядок и .
Направленное множество и направленность
Направление используется для задания направленного множества и направленности.
Направленное множество, или направленная система, — множество , на котором задано направление , то есть пара .
В частности, направленное вверх, или по возрастанию, множество — любое частично упорядоченное множество, все двухэлемпентные (а значит, и все конечные) подмножества которого обладают верхней гранью. Понятие направленное вниз, или по убыванию, множество определяется аналогично благодаря принципу двойственности, но используется редко.
Направленность — функция , отображающая направленное множество в топологическое пространство, то есть пара , где — направление на области определения функции .
Синонимы направленности: направленное множество; последовательность по направленному множеству.
Строгое направление Строгое направление подразумевает, что если , то .
Направление строгое — бинарное отношение порядка на некотором непустом множестве , которое задаётся следующими двумя аксиомами строгого порядка и одной специальной аксиомой: (D1) отношением транзитивности: для любых , , , всегда выполняется ; (D2) отношением асимметричности: если выполняется , то не выполняется ; (D3) свойством Мура — Смита: для любых найдётся такой, что , . Для свойства Мура — Смита не имеет значения, , или , или ни то и ни другое.
Свойство Мура — Смита исключает наличие в множестве последнего элемента для строгого направления.
В линейно строго упорядоченном множестве , не имеющем последнего элемента, выполняется свойство Мура — Смита. Действительно, для произвольных установлен строгий порядок, пусть . Поскольку не может быть последним элементом, то , . Тогда по свойству транзитивности также и .
Примечания
Литература
Категория:Математические отношения Категория:Теория порядков