В статистике параметрическая модель или конечномерная модель (иногда параметрическое семейство) — это особый вид статистических моделей. Параметрические модели — это семейство распределений вероятности с конечным числом параметров.
Определение
Статистическая модель — это набор распределений вероятности на некотором пространстве элементарных исходов. Мы предполагаем, что набор индексирован некоторым множеством . Множество называется множеством параметров или пространством параметров. Для каждого обозначим соответствующий элемент набора как , где — функция распределения. Тогда статистическую модель можно обозначить как: .
Модель является параметрической, если , где — некоторое положительное целое число.
Когда модель состоит из абсолютно непрерывных распределений, то её часто выражают в терминах соответствующей плотности вероятностей: .
Примеры Семейство пуассоновских распределений параметризуется единственным числом : , где это функция вероятности. Это семейство .
Семейство нормальных распределений параметризуется , где — это параметр сдвига и — это параметр масштаба: . Это параметрическое семейство и , и сдвига-масштаба.
Трёхмерное распределение Вейбулла имеет трёхмерный параметр . , где — , — параметр масштаба и — параметр сдвига.
Биномиальная модель параметризируется , где — неотрицательное целое число и — вероятность (отсюда и ): . В этом примере определена модель с дискретными параметрами.
Общие замечания Параметрическая модель , если отображение обратимо, т.е. нет двух разных значений параметров и , таких что .
Сравнение с другими классами моделей Параметрические модели отличаются от полупараметрических, полунепараметрических и непараметрических моделей, все из которых описываются бесконечным множеством «параметров». Отличия между классами следующие: в «параметрической» модели все параметры находятся в конечномерном параметрическом пространстве; модель «непараметрическая», если все параметры находятся в бесконечномерном параметрическом пространстве; «полупараметрическая модель» содержит конечномерные интересующие параметры и бесконечномерные мешающие параметры; «полунепараметрическая модель» содержит и конечномерные, и бесконечномерные интересующие параметры.
Некоторые статистики считают, что термины «параметрическая», «непараметрическая» и «полупараметрическая» модель неоднозначны. Также можно отметить, что кардинальность множества всех мер вероятностей — континуум, а значит можно параметризировать любую модель единственным числом в интервале . Эту трудность можно обойти, если рассматривать только «гладкие» параметрические модели.
См. также Параметрическое семейство Параметрическая статистика Статистическое моделирование
Примечания
Литература