Обратная функция ошибок () — специальная функция, определяемая как обратная функция к функции ошибок . Обозначается или .

Связанные функции

Обратная дополнительная функция ошибок, обозначаемая , аналогично определяется как обратная к дополнительной функции ошибок и связана с следующим образом: .

Пробит-функция () — обратная функция к функции распределения стандартного нормального распределения , поэтому .

Свойства Вещественная обратная функция ошибок определена при и является нечётной функцией.

является решением нелинейного дифференциального уравнения при начальных условиях и . Эта функция также удовлетворяет нелинейному дифференциально-интегральному уравнению .

Производная обратной функции ошибок равна , а первообразная — . Кроме того, известны следующие определённые интегралы:

.

Ряд Тейлора Ряд Маклорена для обратной функции ошибок имеет следующий вид: , где и .

Числителям и знаменателям коэффициентов в несокращённом виде соответствуют и соответственно. Будучи сокращёнными, они же образуют и .

Для старших производных обратной функции ошибок в точке также верно следующее соотношение: при условиях и , где .

При асимптотически .

Асимптотика При функция представима асимптотическим рядом: , где .

Кроме того, при верно , где — W-функция Ламберта.

Пусть и , а также

. Тогда . Это соотношение может быть использовано для итеративного приближённого вычисления в области малых : , где за начальное значение можно взять .

Применение Обратная функция ошибок используется при численном решении уравнений диффузии и уравнений Эйнштейна для скалярного поля, а также вычислении химических потенциалов.

Уравнение диффузии Одномерное уравнение диффузии вида с начальным условием и граничным условием , где является однозначной функцией , обычно решается приближёнными численными методами. Однако при , достаточно близких к , изменение функции можно считать малым.

Пусть интервал от до разбит на равных частей длиной , и . Тогда на отрезке функцию можно заменить константой . В таком случае исходное уравнение сведётся к

. Оно имеет точное решение в виде , где .

В программном обеспечении В языке Wolfram обратная функция ошибок вызывается через InverseErf[s], где — произвольный вещественный аргумент от –1 до 1. Кроме того, InverseErf[s, z0] возвращает функцию, обратную к .

Библиотека boost/math для C++ содержит функцию erf_inv(T p, const Policy&), первый аргумент которой соответствует аргументу , а второй, необязательный, указывает точность вычисления и способ обработки исключений.

Библиотека SciPy для Python также содержит реализацию , она называется erfinv(y, out=None). Первый аргумент обязателен и должен содержать значение или список значений аргумента , а второй опционален и может содержать список, в который будут помещены значения функции . Эта функция является обёрткой для функции erf_inv() из boost/math для C++.

Примечания

Литература

Категория:Специальные функции