Функция выживаемости (надежности или долговечности) — это функция, которая даёт вероятность того, что пациент, устройство или другой рассматриваемый объект продолжит существование по истечении определённого времени. Функция выживаемости известна также как функция долговечности или функция надёжности. Термин функция надёжности широко используется в инженерии, в то время как термин функция выживаемости применяется в более широком спектре областей, включая смертность людей. Функция выживаемости является дополнительной функцией распределения времени жизни.
Определение
Пусть время жизни будет непрерывной случайной переменной, описывающей время до отказа. Если имеет функцию распределения и плотность вероятности на интервале , тогда функция выживаемости или функция надёжности равна:
Примеры функций выживаемости
Графики ниже показывают примеры гипотетических функций выживаемости. Ось — это время, ось — это доля выживших. Графики показывают вероятность того, что объект выживет по истечении времени .
Например, в функции выживаемости 1 вероятность выживания более месяцев равна . То есть, 37% объектов живут более 2 месяцев.
Для функции выживаемости 2 вероятность выживания после месяцев равна . То есть, 97% объектов живут дольше, чем 2 месяца.
Медиана выживаемости может быть определена из функции выживаемости — это точка, где функция выживаемости пересекает значение . Например, для функции выживаемости 2 50% объектов переживают 3,72 месяца. Медиана выживаемости тогда равна месяцев.
Медианная выживаемость не всегда может быть определена только по графику. Например, на графике функции выживаемости 4 более 50% объектов живут дольше, чем период наблюдения в 10 месяцев.
Функция выживаемости — один из нескольких способов описания и отображения данных о выживаемости. Другой полезный способ отображения данных — это график, показывающий распределение времени выживаемости объекта. Олкин даёт следующий пример данных о выживании. Было зафиксировано количество часов между последовательными отказами системы кондиционирования воздуха. Время в часах между последовательными отказами равно 1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 71, 87, 90, 95, 120, 120, 225, 246 и 261. Среднее время между отказами равно 59,6. На рисунке ниже показано распределение времени между отказами. Синие метки под графиком обозначают фактические часы между последовательными отказами кондиционера.
В этом примере кривая, представляющая экспоненциальное распределение, наложена на распределение времени отказа системы кондициониров и аппроксимирует его. Эта конкретная экспоненциальная кривая задается параметром лямбда,
Распределение времени отказов является функцией плотности вероятности, поскольку время может принимать любое положительное значение. В уравнениях функция плотности вероятности обозначается как . Если время может принимать только дискретные значения (например, 1 день, 2 дня и так далее), то распределение времени отказов называется функцией вероятности. Большинство методов анализа выживаемости предполагают, что время может принимать любое положительное значение, и является функцией плотности вероятности. Если время между наблюдаемыми отказами системы кондиционирования воздуха аппроксимируется с помощью экспоненциальной функции, то экспоненциальная кривая дает функцию плотности вероятности для времени отказов.
Еще один полезный способ представления данных о выживаемости — это график, показывающий кумулятивное число отказов к каждому моменту времени. Эти данные могут быть представлены как кумулятивное число или как кумулятивная доля отказов к каждому моменту. График ниже показывает кумулятивную вероятность (или долю) отказов в каждый момент времени для системы кондиционирования воздуха. Ступенчатая чёрная линия показывает кумулятивную пропорцию отказов. Для каждой ступени внизу графика есть синяя отметка, указывающая на зафиксированное время отказа. Гладкая красная линия представляет собой экспоненциальную кривую, построенную по наблюдаемым данным.
График интегральной вероятности отказов до каждого момента времени называется функцией распределения (cumulative distribution function, для ссылок ниже = CDF). В анализе выживания функция распределения даёт вероятность того, что время выживания меньше или равно определённого времени .
Пусть будет время выживания, любое положительное число. Конкретное время обознаяается строчной буквой . Функция распределения от — это функция
где правая сторона представляет вероятность того, что случайная переменная меньше или равна . Если время может принимать любое положительное значение, то функция распределения является интегралом плотности вероятности .
Для примера с системой кондиционирования воздуха, график функции распределения ниже иллюстрирует, что вероятность того, что время до отказа будет меньше или равно 100 часам, составляет , как было оценено с использованием экспоненциальной аппроксимации данных.
Вместо построения графика вероятности того, что время отказа будет меньше или равно 100 часам, можно построить график вероятности того, что время отказа будет больше 100 часов. Вероятность того, что время отказа превысит 100 часов, равна единице минус вероятность того, что время отказа не превысит 100 часов, поскольку сумма всех вероятностей должна быть равна единиц.
Это даёт:
Эта зависимость применима ко всем временам отказов:
Эта зависимость показана на графиках ниже. График слева является функцией распределения . Справа — график функции , функция выживаемости S(t). Факт, что S(t) = 1 – CDF является причиной, по которой иногода используется другое имя для функции выживаемости — дополнительная функция распределения.
Параметрияеские функции выживаемости
В некоторых ситуациях, как, например, в случае с кондиционером, распределение времени до отказа может быть хорошо аппроксимировано функцией, такой как экспоненциальное распределение. В анализе выживаемости часто используются различные распределения, включая экспоненциальное, Вейбулла, гамма, нормальное, логнормальное и лог-логистическое. Эти распределения определяются параметрами. Например, нормальное (гауссово) распределение определяется двумя параметрами —средним значением и стандартным отклонением. Функции выживаемости, определяемые параметрами, называются параметрическими.
В графиках четырёх функций выживаемости, показанных выше, форма функции выживаемости задаётся определённым распределением вероятности: функция выживаемости 1 задаётся экспоненциальным распределением, функция 2 задаётся распределением Вейбулла, функция 3 задаётся лог-логистическим распределением, а функция 4 задаётся другим распределением Вейбулла. .
Экспоненциальная функция выживаемости
Для экспоненциального распределения выживаемости вероятность отказа одинакова в каждом временном интервале, независимо от возраста индивидуума или устройства. Этот факт обуславливает свойство «отсутствия памяти» экспоненциального распределения выживаемости: возраст объекта не влияет на вероятность отказа в следующем временном интервале. Экспоненциальное распределение может быть хорошей моделью для времени жизни системы, в которой детали заменяются по мере их выхода из строя. Это также может быть полезно для моделирования выживаемости живых организмов на коротких интервалах. Это вряд ли будет хорошей моделью полного жизненного цикла живого организма. Эфрон и Хасти заметили: «Если бы продолжительность жизни человека была экспоненциальной, не было бы ни старых, ни молодых людей, только удачливые или неудачливые».
Функция выживаемости Вейбулла
Основное допущение экспоненциальной функции выживаемости заключается в том, что интенсивность отказов постоянна. В приведенном выше примере доля мужчин, умирающих каждый год, составляла постоянные 10%, что означает постоянную интенсивность отказов. Допущение о постоянной интенсивности отказов может быть неприемлемым. Например, у большинства живых организмов риск смерти в старости выше, чем в среднем возрасте, то есть интенсивность отказов увеличивается со временем. При некоторых заболеваниях, таких как рак молочной железы, риск рецидива снижается через 5 лет, то есть интенсивность отказов уменьшается со временем. Распределение Вейбулла Распределение Вейбулла расширяет экспоненциальное распределение, позволяя учитывать постоянные, возрастающие или убывающие интенсивности отказов.
Другие параметрические функции выживаемости
Существует ряд других параметрических функций выживаемости, которые могут лучше соответствовать конкретному набору данных, включая нормальное, логнормальное, лог-логистическое и гамма-распределения. Выбор параметрического распределения для конкретного применения можно сделать с помощью графических методов или формальных критериев согласия. Эти распределения и тесты описаны в учебниках по анализу выживаемости. Лоулесс подробно рассматривает параметрические модели.
Параметрические функции выживаемости широко применяются в производстве, в том числе потому, что они позволяют оценить функцию выживаемости за пределами периода наблюдений. Однако корректное использование параметрических функций требует, чтобы данные хорошо описывались выбранным распределением. Если подходящее распределение отсутствует или не может быть определено до начала клинического испытания или эксперимента, то непараметрические функции выживаемости представляют собой полезную альтернативу.
Непараметрические функции выживаемости
Параметрическая модель выживаемости может быть невозможной или нежелательной. В таких ситуациях наиболее распространенным методом моделирования функции выживаемости является непараметрическая . Этот метод оценки требует данных о продолжительности жизни. Периодические данные о случаях и количестве смертей (и выздоровлений) статистически достаточны для получения непараметрических оценок функции выживаемости методом максимального правдоподобия и методом наименьших квадратов, даже без данных о продолжительности жизни.
Свойства
Любая функция выживаемости является монотонно убывающей, то есть, для всех . Это свойство случайной величины, которая отображает во время множество событий, обычно связанных со смертностью или отказами некоторой системы. Время представляет некоторое начало отсчёта, обычно начало изучения или запуск в работы некоторой системы. обычно равно единице, но может быть меньше, чтобы отразить вероятность того, что система откажет немедленно при запуске. Поскольку функция распределения является непрерывной справа, функция выживаемости тоже непрерывна справа. Функция выживаемости может быть связана с плотностью вероятности и интенсивностью отказов
Так что Ожидаемое время выживания Математическое ожидание случайной величины определяется как:
где — плотность вероятности. Используя соотношение можно переписать формулу
Далее можно упростить формулу, применив интегрирования по частям:
По определению , что означает, что первый член равен нулю. Тогда можно заключить, что ожидаемое значение просто равно интегралу функции выживаемости:
Смотрите также Интенсивность отказов
Сре́дняя нарабо́тка на отка́з
Примечания
Категория:Анализ выживаемости Категория:Статистика