Теорема Шинцеля утверждает следующее:
Теорема была доказана Анджеем Шинцелем и названа его именем.
Доказательство
Шинцель доказал эту теорему следующим построением. Если чётно и , то окружность, заданная следующим уравнением, проходит ровно через точек:
Эта окружность имеет радиус , и её центр находится в точке . Например, рисунок показывает окружность с радиусом , проходящую через четыре целочисленные точки.
Умножая обе стороны уравнения Шинцеля на четыре даёт эквавалентное уравнение в целых числах,
Выражение записывает в виде , из которых первый член нечётен, а второй чётен. Имеется в точности способов записать в виде суммы двух квадратов, и половина из них имеет порядок (нечетный, четный) в силу симметрии. Например, , так что мы имеем или и или , что даёт четыре показанные точки.
С другой стороны, если нечётно и , то окружность, заданная следующим уравнением, проходит через ровно точек:
Эта окружность имеет радиус и её центр находится в точке .
Свойства
Окружности, образованные построением Шинцеля, не являются наименьшими окружностями, проходящими через заданное число целых чисел, но их преимущество в том, что они определены явными выражениями.
Примечания
Категория:Теорема об окружностях Категория:Геометрия чисел Категория:Теория решёток (геометрия)