Число Пифагора или приведённая высота поля описывает структуру множества квадратов поля. Число Пифагора p(K) поля K — это наименьшее положительное целое число p, такое что любая сумма квадратов в K является суммой p квадратов.
— это поле с числом Пифагора 1. То есть, любая сумма квадратов является уже квадратом.
Примеры Любое неотрицательное вещественное число является квадратом, так что . Для конечного поля с нечётной характеристикой не все элементы являются квадратом, но все являются суммой двух квадратов, так что . По теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов любое положительное рациональное число является суммой четырёх квадратов и не все являются суммой трёх квадратов, так что .
Свойства Любое положительное целое число является числом Пифагора некоторого формально вещественного поля. Число Пифагора связано со поля соотношением . Если F не является формально вещественным полем, то и оба варианта возможны: для мы имеем s = p = 1, в то время как для имеем . Как следствие, число Пифагора поля, не являющегося формально вещественным полем, либо равно степени 2, либо на 1 больше степени 2. Все подобные случаи имеют место: для любой пары (s,p) вида или существует поле F, такое что . Например, квадратично замкнутое поле (в частности , ) и поля характеристики 2 (в частности, ) дают ; для простых и p-адических полей получаем (1,2); для простых даёт (2,2), а даёт (2,3); даёт (4,4) и даёт (4,5). Число Пифагора связано с F: если F является формально вещественным полем, то h(F) — это наименьшая степень 2, которая не превосходящая p(F); если F не является формально вещественным полем, то .
Примечания
Литература
Категория:Теория полей