Квадратично замкнутое поле — это поле с не равной 2 характеристикой, в котором любой элемент имеет квадратный корень.
Примеры Поле комплексных чисел квадратично замкнуто. Более обще, любое алгебраически замкнутое поле квадратично замкнуто. Поле вещественных чисел не квадратично замкнуто, поскольку не содержит квадратного корня из −1. Объединение конечных полей для квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто.
Свойства Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет равный 1. Любое квадратично замкнутое поле является , но не обратно (например, является пифагоровым). Однако, любое поле пифагорово поле, не являющееся формально вещественным, квадратично замкнуто. Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда его в соответствии с отображением размерности. Формально вещественное евклидово поле E не квадратично замкнуто (так как −1 не является квадратом в E), но квадратичное расширение E() квадратично замкнуто. Пусть E/F будет конечным расширением поля, где E — квадратично замкнуто. Либо −1 является квадратом в F и F квадратично замкнуто, либо −1 не является квадратом в F и F евклидово. Эта «теорема спуска» может быть выведена из .
Квадратичное замыкание Квадратичное замыкание поля F — это квадратично замкнутое поле, содержащее F, которое вкладывается в любое квадратично замкнутое поле, содержащее F. Квадратичное замыкание любого данного F может быть построено в виде подполя алгебраического замыкания Falg поля F как объединение всех итерированных квадратичных расширений F в Falg.
Примеры Квадратичное замыкание — это . Квадратичное замыкание — это объединение . Квадратичное замыкание — это поле комплексных .
Примечания
Литература
Категория:Теория полей