Гипотеза Шона — Яу — это опровергнутая гипотеза гиперболической геометрии, названная именами математиков и Яу Шинтуна.

Гипотеза была навеяна теоремой (1952). Одним из методов опровержения является использование поверхностей Шерка, как было сделано и Паскалем Коллином (2006).

Постановка и формулировка гипотезы

Пусть будет комплексной плоскостью, которую рассматриваем как риманово многообразие с обычной (плоской) римановой метрикой. Пусть обозначает гиперболическую плоскость, то есть, единичный круг

наделенный гиперболической метрикой

Э. Хайнц в 1952 году доказал, что не может существовать гармонического диффеоморфизма

В свете этой теоремы Шон сделал предположение, что не существует гармонического диффеоморфизма

(Не вполне ясно, каким образом имя Яу оказалось связанным с гипотезой — в неопубликованной корреспонденции с Гарольдом Розенбергом Шон и Яу, оба, указали, что гипотезу выдвинул Шон). Гипотеза Шона (— Яу) была опровергнута.

Комментарии

Акцент делается на существовании или несуществовании гармонической диффеоморфии и на том, что это свойство является «односторонним». Предположим, что мы рассматриваем два римановых многообразия M и N (с их соответствующими метриками). Запишем

если существует диффеоморфизм из M в N (говорят: M и N диффеоморфны). Запишем

если существует гармонический диффеоморфизм из M в N. Нетрудно показать, что (быть диффеоморфными) является отношением эквивалентности на объектах категории римановых многооразий. В частности, является симметричным отношением:

Можно показать, что гиперболическая плоскость и (плоская) комплексная плоскость действительно диффеоморфны:

так что вопрос состоит в том, являются ли они «гармонически диффеоморфны». Однако, как демонстрирует верность теоремы Хайнца и опровержение гипотезы Шона — Яу, симметричным отношением не является:

Таким образом, «гармонический диффеоморфизм» является много более сильным свойством, чем просто диффеоморфизм, и может представлять собой отношение «в одну сторону».

Примечания

Литература

Категория:Опровергнутые гипотезы Категория:Геометрия Лобачевского