В статистической механике и математике распределение Больцмана (реже также называемое распределением Гиббса Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28) — это распределение вероятностей, или вероятностная мера, которая показывает вероятность пребывания системы в определённом -м состоянии в зависимости от энергии этого состояния и от температуры системы. Распределение выражается в виде
,
где — постоянная Больцмана, а символ означает пропорциональность.
Термин «система» здесь имеет очень широкое значение — от одиночного атома до огромной макроскопической системы, которой может являться, например, резервуар для хранения природного газа. Благодаря этому распределение Больцмана применимо к решению очень широкого круга задач.
Вводные замечания Распределение названо в честь Л. Больцмана, сформулировавшего его в 1868 году при исследовании статистической механики газов, находящихся в тепловом равновесии. Статистическая работа Больцмана возникла из его статьи «О связи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчётами, касающимися условий теплового равновесия». Позднее, в 1902 году, распределение в его современной общей форме для систем с переменным числом частиц подробно исследовал Гиббс.
Обобщённое распределение Больцмана является достаточным и необходимым условием эквивалентности определений энтропии в статистической механике (формула энтропии Гиббса ) и в термодинамике (; - элементарное количество теплоты, полученное термодинамической системой в бесконечно малом процессе, плюс фундаментальное термодинамическое соотношение).
Распределение Больцмана не следует путать с распределением Максвелла — Больцмана. Первое представляет собой распределение по состояниям и даёт вероятность того, что система будет находиться в конкретном состоянии в зависимости от его энергииAtkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York, второе же характеризует плотность распределения частиц идеального газа по скоростям и координатам.
Анализ распределения Распределение Больцмана — это дискретное распределение, дающее вероятность реализации определённого состояния как функцию энергии этого состояния и температуры системыMcQuarrie, A. (2000) Statistical Mechanics, University Science Books, California. Оно записывается:
где — вероятность состояния , — энергия состояния , — постоянная Больцмана, — температура, а — количество всех состояний, доступных для рассматриваемой системы. Нормировочный знаменатель — это каноническая статистическая сумма
.
Её присутствием обеспечивается равенство суммы вероятностей реализации всех доступных состояний единице.
Распределение Больцмана максимизирует энтропию
при условии, что равно определённому среднему значению энергии (это доказывается с использованием метода множителей Лагранжа).
Статсумму можно вычислить, если известны энергии состояний, доступных для рассматриваемой системы. Для атомов значения статистической суммы можно найти в базе данных атомных спектров NISTNIST Atomic Spectra Database Levels Form at nist.gov.
Распределение Больцмана показывает, что состояния с более низкой энергией всегда имеют более высокую вероятность быть занятыми, чем состояния с более высокой энергией. Оно также даёт отношение вероятностей занятия состояний и (см. рис. вверху):
,
где и — вероятности реализации состояний и , соответственно, а и — энергии этих состояний.
Распределение Больцмана используется для описания распределения частиц, например атомов или молекул, по доступным им энергетическим состояниям. В системе, состоящей из большого числа частиц, вероятность того, что частица находится в состоянии , практически равна вероятности того, что, выбрав случайную частицу из этой системы и проверив её состояние, мы обнаружим, что она находится в состоянии . Эта вероятность равна доле частиц, находящихся в состоянии , то есть количеству частиц в состоянии , делённому на общее количество частиц в системе:
.
Можно использовать распределение Больцмана, чтобы найти эту вероятность, которая, как мы видели, равна доле частиц, находящихся в состоянии . Таким образом, уравнение, которое даёт долю частиц в состоянии как функцию энергии этого состояния, имеет вид
Это уравнение имеет важное значение в спектроскопии, где наблюдают спектральные линии атомов или молекул, связанные с переходами из одного состояния в другоеAtkins, P. W.; de Paula J. (2009) Physical Chemistry, 9th edition, Oxford University Press, Oxford, UK. Для того, чтобы переход был возможен, должны быть частицы в первом состоянии, способные совершить этот переход. Выполняется ли это условие, можно понять, найдя долю частиц в первом состоянии. Если это количество пренебрежимо мало, то при температуре, для которой проводился расчет, переход, скорее всего, наблюдаться не будет. В общем, большая доля молекул в первом состоянии означает большее количество переходов во второе состояниеSkoog, D. A.; Holler, F. J.; Crouch, S. R. (2006) Principles of Instrumental Analysis, Brooks/Cole, Boston, MA, то есть более сильную спектральную линию. Однако есть и другие факторы, которые влияют на интенсивность спектральной линии, например, вызвана ли она разрешённым или запрещённым переходом.
Распределение Больцмана связано с функцией softmax, используемой в машинном обучении.
Примечания
Категория:Статистическая механика Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами