Метрика Хофера — естественная биинвариантная метрика на группе гамильтоновых симплектоморфизмов. Введена Хельмутом Хофером в конце 1980-х годов.H. Hofer. «On the topological properties of symplectic maps». Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 115.1-2 (1990), с. 25—38
Определение Пусть — симплектическое многообразие. Для гладкой функции (гамильтониана), будем обозначать через соответствующий гамильтонов поток.
Норма Хофера гамильтониана определяется как:
Для гамильтонова диффеоморфизма норма Хофера определяется как:
где точная нижняя грань берётся по всем гамильтонианам , порождающим .
Расстояние Хофера между и определяется как:
Замечания Гамильтонов поток определяет с точностью до добавления функции зависящей от . Чтобы сделать выбор однозначным обычно предполагают что многообразие компактно и среднее значение равен нулю для всякого . В некомпактном случае обычно рассматривают гамильтоновы диффеоморфизмы с компактным носителем и предполагают, что равен нулю вне фиксированного компактного множества при любом .
Свойства Метрика Хофера является биинвариантной, то есть . Норма Хофера не вырождается. То есть, тогда и только тогда, когда . В частности расстояние Хофера определяет метрику на гамильтоновых симплектоморфизмах. Пространство не является полным.
Примечания
Литература
Категория:Симплектическая геометрия Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Метрическая геометрия