В статистике вспомогательной статистикой (также дополнительная статистика, подчинённая статистика) называется статистика, вычисленная на выборке относительно параметрической модели набора данных. У вспомогательной статистики такое же распределение, не считая значения параметров, и поэтому она не предоставляет информацию о них. Это противопоставляется идее , которая не содержит вспомогательной информации. Вспомогательная статистика близка к идее достаточной статистики, которая содержит всю информацию о параметрах, которую предоставляет набор данных.
Вспомогательная статистика — это особый случай центральной величины, которая вычисляется исключительно из предоставленных данных, а не из параметров. Они могут использоваться для построения . С помощью теоремы Басу можно доказать независимость между статистиками.
Термин введён Рональдом Фишером в 1920-х, но формальное определение было опубликовано только в 1964 индийским математиком .
Примеры
Предположим, независимые и одинаково распределённые (в данном случае — нормально) с неизвестным мат ожиданием и дисперсией, равной . Пусть
будет выборочным средним.
Следующие статистические измерения разброса выборки: Размах: Межквартильный размах: Выборочная дисперсия:
являются вспомогательными статистиками, поскольку их выборочные распределения не изменяются с изменением . Вычислительно это потому, что в формулах нет терма — добавляя постоянное число к распределению (и ко всем выборкам) изменяется выборочный максимум и минимум на то же самое число, поэтому это не изменяет их разницу, как и другие измерения, поэтому они не зависят от сдвига.
И наоборот, для независимых одинаково распределённых (снова нормально) случайных величин с известным мат ожиданием, равным и неизвестной дисперсией , выборочное среднее не является вспомогательной статистикой дисперсии, поскольку выборочное распределение выборочного среднего — это , что зависит от , эта оценка сдвига (а именно стандартная ошибка) зависит от дисперсии.
В семействах сдвига-масштаба
В семействе распределений со сдвигом является вспомогательной статистикой.
В семействе распределений с масштабом является вспомогательной статистикой.
В семействе сдвига-масштаба , где выборочная дисперсия, является вспомогательной статистикой.
В восстановлении информации
Оказывается, что если — статистика, не являющаяся достаточной, а — вспомогательная, то иногда удаётся восстановить всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся во всех данных, по , делая вывод при условии наблюдаемого значения . Это называется условный вывод.
Например, пусть (распределены нормально), где неизвестна. Заметим, что хоть не является достаточной статистикой для , поскольку её информация Фишера равна 1, в то время как информация Фишера достаточной статистики равна , с помощью вывода вспомогательной статистики , получается совместное распределение с информацией Фишера .
Вспомогательное дополнение
Если статистика не является достаточной, то вспомогательная статистика , такая что статистика является достаточной, называется вспомогательным дополнением. Интуитивно, вспомогательное дополнение "добавляет пропущенную информацию" (без повторений).
Такая статистика будет особенно полезна, если оценка (а следовательно — статистика) была получена методом максимального правдоподобия, который в общем случае не возвращает достаточную статистику; тогда можно искать вспомогательное дополнение. Фишер утверждал, что в этом случае для вспомогательного дополнения необходимо условие, чтобы определить информацию содержимого: необходимо рассматривать информацию Фишера содержимого статистики не на основе маргинального распределения , а по условному распределению по : сколько информации добавляет ? В общем случае это невозможно, поскольку вспомогательное дополнение может не существовать, а если и существует, то не обязательно должно быть единственным, так и максимальное вспомогательное дополнение может не существовать.
Пример
Предположим, бейсбольный аналитик (скаут) наблюдает отбивающего в выходах на биту. Предположим, хоть это и нереалистично, что число выбирается каким-то случайным процессом, независимым от способностей отбивающего, скажем, подбрасывается монетка каждый раз после выхода на биту и результат определяет будет ли скаут наблюдать за следующим выходом на биту. Конечные данные — это число выходов на биту и число хитов : данные — являются достаточной статистикой. Наблюдаемая не может передать всю информацию из данных, поскольку не может сказать количество выходов на биту (например, средняя результативность , что очень высокий результат (см. ) за пять выходов, не впечатляет так же сильно, как игрок у которого средняя результативность за сто выходов). Число выходов является вспомогательной статистикой, потому что: Это часть наблюдаемых данных (и является статистикой) это вероятностное распределение не зависит от навыков отбивающего, поскольку было выбрано с помощью случайного процесса, [в свою очередь] не зависящего от способностей отбивающего.
Это вспомогательная статистика является вспомогательным дополнением для наблюдаемой средней результативности , т.е. средняя результативность не является достаточной статистикой, поскольку она не предоставляет всю необходимую информацию в данных, но в объединении с она становится достаточной.
См. также
Теорема Басу
Групповое семейство Принцип условности
Примечания