Лексикографический квадрат — единичный квадрат с топологией определённой лексикографическим порядком.
Построение
Лексикографический порядок определяет полный упорядочение на точках единичного квадрата : если (x, y) и (u, v) — две точки в , то тогда и только тогда, когда либо либо же и .
Топология лексикографического порядка на единичном квадрате — это соответствующая топология порядка, то есть определяемая базой интервалов , и .
Свойства Топология порядка превращает в совершенно нормальное хаусдорфово пространство . Поскольку лексикографический порядок на S является полным, пространство является компактным. В то же время, S содержит несчетное число попарно непересекающихся открытых интервалов, каждый из которых гомеоморфен вещественной прямой, например, интервалы для . В частности, не является сепарабельным, и, значит, не метризуемо (поскольку любое компактное метрическое пространство сепарабельно). Однако S удовлетворяет первой аксиоме счётности. Кроме того, связно и локально связно, но не линейно связно и не локально линейно связно; связная компонента любой точки является вертикальным отразком Его фундаментальная группа тривиальна.
См. также Прямая Александрова
Примечания
Литература
Категория:Топологические пространства Категория:Общая топология