Фрактальная последовательность — это последовательность, содержащая себя в качестве собственной подпоследовательности. Пример: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Если удалить все первые вхождения каждого числа n, оставшаяся часть последовательности идентична исходной. Процесс можно повторять бесконечно, так что, на самом деле, исходная последовательность содержит не одну копию себя, а бесконечно много.
Определение
Для точного определения фрактальной последовательности нужно определить инфинитивную последовательность: последовательность x = (xn) является инфинитивной, если для любого i,
(F1) xn = i для бесконечного числа индексов n.
Пусть a(i,j) будет j-ым индексом n, для которого xn = i. Инфинитивная последовательность x является фрактальной, если выполняются два дополнительных условия:
(F2) если i+1 = xn, то существует m < n, такой что
(F3) если h < i, то для любого j существует в точности один k, такой что
Согласно (F2) первое появление каждого числа i > 1 в x должно предшествовать по меньшей мере одним появлением каждого из чисел 1, 2, ..., i-1, а согласно (F3), между последовательными вхождениями i в x, каждое h, меньшее i, встречается ровно один раз.
Пример
Предположим, что θ является положительным иррациональным числом. Пусть
S(θ) = множество чисел c + dθ, где c и d являются положительными целыми
и пусть
cn(θ) + θdn(θ)
будет последовательностью, полученной упорядочиванием чисел S(θ) в порядке возрастания. Последовательность cn(θ) называется сигнатурой θ и является фрактальной последовательностью.
Например, сигнатура золотого сечения (т.е., θ = (1 + sqrt(5))/2) начинается с
1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...
А сигнатура значения 1/θ = θ - 1 начинается с
1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...
Это последовательности и в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей, где приведены другие примеры из различных теоретико-числовых и комбинаторных контекстов .
См. также
Последовательность Морса — Туэ
Ссылки On-Line Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей: Треугольник T(n,k) = k для k = 1..n Треугольник, читаемый по строкам: строка n перечисляет первые n положительных целых чисел в убывающем порядке. Фрактальная последовательность, полученная из чисел Фибоначчи https://oeis.org/A112382 Самоописывающаяся фрактальная последовательность: последовательность содержит каждое положительное целое число] Фрактальная последовательность: обратный отсчет с шагом 2 от последовательных целых чисел Фрактальная последовательность дисперсии составных чисел Фрактальная последовательность дисперсии простых чисел Фрактальная последовательность связанная с A125150 Фрактальная последовательность связанная с A125151 Фрактальная последовательность, (почти натуральные числа)
Примечания
Литература
Категория:Фракталы Категория:Целочисленные последовательности