Узлы использовались на протяжении тысячелетий для решения основных задач, таких как запись информации, крепление и связывание предметов. Значительный импульс в развитии теории узлов позднее был дан Уилямом Томсоном (Лордом Кельвином) и его вихревой теорией атома.

История

Досовременная история Различные узлы лучше подходят для разных задач, например, для скалолазания или плавания под парусом. Помимо эстетических качеств, узлы также считались обладающими духовным и религиозным символизмом. Бесконечный узел встречается в тибетском буддизме, а кольца Борромео неоднократно появлялись в различных культурах, часто символизируя единство. Кельтские монахи, создавшие Келлскую книгу щедро украшали целые страницы замысловатыми узорами из кельтских узлов.

Раннее новое время Карл Фридрих Гаусс изучал узлы с математической точки зрения и в 1833 году разработал интеграл Гаусса для вычисления коэффициента зацепления двух узлов. Его ученик Иоганн Бенедикт Листинг, именем которого назван узел Листинга, продолжил их изучение.

В 1867 году, наблюдая за экспериментами с дымовыми кольцами шотландского физика Питера Тэйта, Томсон пришёл к мысли, что атомы представляют собой узлы закрученных вихрей в эфире. Химические элементы, таким образом, соответствовали бы узлам и зацеплениям. Эксперименты Тэйта были вдохновлены работой Гельмгольца о вихревых кольцах в несжимаемых жидкостях. Томсон и Тэйт полагали, что понимание и классификация всех возможных узлов объяснят, почему атомы поглощают и излучают свет только на определённых дискретных длинах волн. Например, Томсон считал, что натрий может быть представлен как зацепление Хопфа из-за двух линий его спектра. Тэйт впоследствии начал составлять списки уникальных узлов, полагая, что создаёт таблицу элементов. Он сформулировал то, что сейчас известно как гипотезы Тэйта на альтернированных узлах. (Гипотезы были доказаны в 1990-х годах.) Таблицы узлов Тэйта впоследствии улучшили и .

Джеймс Клерк Максвелл, коллега и друг Томсона и Тэйта, также проявил большой интерес к узлам. Максвелл изучал работы Листинга по узлам. Он переосмыслил интеграл зацепления Гаусса в терминах электромагнитной теории. В его формулировке интеграл представлял собой работу, совершаемую заряженной частицей, движущейся вдоль одной компоненты зацепления под действием магнитного поля, создаваемого электрическим током вдоль другой компоненты. Максвелл также продолжил изучение дымовых колец, рассматривая три взаимодействующих кольца.

Когда в эксперименте Майкельсона — Морли не удалось обнаружить светоносный эфир, вихревая теория окончательно устарела, а теория узлов утратила значительный научный интерес. Современная физика показывает, что дискретные длины волн зависят от квантовых уровней энергии.

Позднее новое время В начале двадцатого века, следуя развитию топологии, начатому Анри Пуанкаре, такие топологи, как Макс Ден, Джеймс Александер и Курт Рейдемейстер, занялись исследованием узлов. Из этого возникли движения Рейдемейстера и многочлен Александера. Ден также разработал , которая связала узлы с общей теорией трёхмерных многообразий, и сформулировал проблемы Дена в теории групп, такие как . Среди ранних пионеров первой половины двадцатого века был Ральф Фокс, популяризовавший эту область. В этот ранний период теория узлов в основном состояла из изучения группы узла и гомологических инвариантов дополнения узла.

Современность В 1961 году Вольфганг Хакен обнаружил алгоритм, позволяющий определить, является ли узел нетривиальным. Он также наметил стратегию решения общей задачи распознавания узлов, то есть определения эквивалентности двух заданных узлов. В начале 1970-х объявил о завершении программы Хакена, опираясь на свои результаты и результаты Клауса Йоханссона, , и Джеффри Хемиона. В 2003 году Сергей Матвеев указал на критический пробел и заполнил его.

Несколько крупных открытий конца XX века значительно оживили теорию узлов и вывели её из тени. В конце 1970-х годов Уильяма Тёрстона ввела теорию в теорию узлов и сделала её первостепенно важной. В 1982 году, Тёрстон получил медаль Филдса, высшую награду в математике, во многом благодаря этому прорыву. Работа Тёрстона также привела, после значительного развития другими исследователями, к эффективному использованию инструментов из теории представлений и алгебраической геометрии. Последовали важные результаты, включая , которая показала, что узлы определяются (с точностью до зеркального отражения) своими дополнениями, и .

Интерес к теории узлов со стороны широкого математического сообщества значительно возрос после открытия Воном Джонсом многочлена Джонса в 1984 году. Это привело к появлению других полиномов узлов, таких как скобка Кауффмана, многочлен HOMFLY и многочлен Кауфмана. В 1990 году Джонс был удостоен филдсовской премии за эту работу. В 1988 году Эдвард Виттен предложил новую структуру для полинома Джонса, используя существующие идеи из математической физики, такие как феймановские интегралы по траекториям, и вводя новые понятия, такие как . Виттен также получил медаль Филдса 1990 году, отчасти за эту работу. Описание Виттеном полинома Джонса подразумевало существование связанных инвариантов для трёхмерных многообразий. Одновременно, но разными путями, другие математики разработали инварианты Виттена — Решетихина — Тураева и различные так называемые , которые, по-видимому, являются математически строгой версией инвариантов Виттена. В 1980-х годах Джон Хортон Конвей открыл процедуру постепенного распутывания узлов, известную как нотация Конвея.

В 1992 году был основан журнал , который стал первым изданием, посвящённым исключительно теории узлов.

В начале 1990-х годов Васильевым и Гусаровым были открыты инварианты узлов, включающие многочлен Джонса и его обобщения, называемые инвариантами конечного типа. Эти инварианты, первоначально описанные с помощью «классических» топологических методов, были показаны обладателем медали Филдса в 1994 году Максимом Концевичем как результат интегрирования с помощью инварианта Концевича, определённых алгебраических структур.

За этими прорывами последовало открытие и , которые значительно обобщают полиномы Джонса и Александера. Эти теории гомологий способствовали выдвижению теории узлов на первый план.

В последние десятилетия XX века учёные и математики начали применять теорию узлов для решения задач в биологии и химии. Теория узлов может быть использована для определения, является ли молекула хиральной или нет. Химические соединения с разной хиральностью могут иметь кардинально отличающиеся свойства, ярким примером чему служит талидомид. В более широком смысле, методы теории узлов используются при изучении  — топологически различных расположений одной и той же химической формулы. Тесно связанная теория сплетений эффективно применяется для исследования действия некоторых ферментов на ДНК. Междисциплинарная область изучает математические модели узлов, основанные на физических соображениях, чтобы понять явления узлообразования, возникающие в таких материалах, как ДНК или полимеры.

В физике было показано, что некоторые гипотетические квазичастицы, такие как неабелевы энионы, обладают полезными топологическими свойствам, а именно, их квантовые состояния остаются неизменными при объемлющей изотопии их мировых линий. Есть надежда, что их можно будет использовать для создания квантового компьютера, устойчивого к декогеренции. Поскольку мировые линии образуют математическую косу, теория кос, область, родственная теории узлов, применяется для изучения свойств такого компьютера, называемого .

С теорией узлов тесно связана и дополняет её , предложенная изначально Алирезой Машаги, Эта теория фокусируется на незамкнутых цепях, содержащих внутримолекулярные контакты или связи. Исторически теория развивалась для решения задач молекулярной топологии, в частности, в биологии.

Примечания

Литература

Silver, Dan, Scottish physics and knot theory’s odd origins Перевод с русского Оригинал (переиздание)

На правах рукописи

Цитата: «Увы, к тому времени, как Тэт и Литтл завершили свой подвижнический труд над таблицами узлов, гипотетическая модель атома, предложенная Томсоном, уже оказалась окончательно списана со счетов. Однако интерес к узлам не угасал — с той лишь разницей, как выразился математик Майкл Атья, что изучение узлов стало эзотерической областью чистой математики». (expanded version of Silver, "Knot theory’s odd origins, " American Scientist, 94, No. 2, 158—165) J.C. Turner & P. van de Griend, editors (1995) History and Science of Knots, World Scientific.

Ссылки Thomson, Sir William (Lord Kelvin), On Vortex Atoms, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Vol. VI, 1867, pp. 94-105. Silliman, Robert H., William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism, Isis, Vol. 54, No. 4. (Dec., 1963), pp. 461—474. JSTOR link Movie of a modern recreation of Tait’s smoke ring experiment The history of knots

Категория:Теория узлов