В функциональном анализе рассматриваются расширения симметрических операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет существование, а иногда и явные конструкции самосопряжённых расширений. Эта задача возникает, например, когда необходимо задать области самосопряжённости формальных выражений наблюдаемых в квантовой механике. Другие применения решений этой задачи встречаются в различных моментных задачах.

В данной статье рассматриваются несколько взаимосвязанных задач такого типа. Объединяющая идея состоит в том, что каждая из них допускает операторную характеристику, которая даёт соответствующую параметризацию решений. Более конкретно, нахождение самосопряжённых расширений симметрических операторов при различных требованиях эквивалентно нахождению унитарных расширений подходящих частичных изометрий.

Симметрические операторы Пусть — гильбертово пространство. Линейный оператор , действующий в и имеющий плотную область определения , называется симметрическим, если

Если , то теорема Хеллингера — Тёплица утверждает, что является ограниченным оператором, и в этом случае самосопряжён и задача расширения тривиальна. В общем случае симметрический оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда .

При работе с неограниченными операторами часто желательно иметь возможность предполагать, что рассматриваемый оператор замкнут. В рассматриваемом контексте удобно, что всякий плотно определённый симметрический оператор замыкаем. Иными словами, имеет наименьшее замкнутое расширение, называемое замыканием оператора . Это можно показать, используя симметричность оператора и теорему Рисса. Поскольку и его замыкание имеют одни и те же замкнутые расширения, можно без ограничения общности считать, что рассматриваемый симметрический оператор является замкнутым.

В следующем разделе будет предполагаться, что симметрический оператор является плотно определённым (то есть ) и замкнутым.

Самосопряженные расширения симметрических операторов Если оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является симметрическим, то при каких условиях он имеет самосопряжённые расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряжённое расширение, называется существенно самосопряжённым; эквивалентно, оператор является существенно самосопряжённым, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика оператора ) самосопряжено. В общем случае симметрический оператор может иметь много самосопряжённых расширений или не иметь ни одного. Поэтому возникает задача классификации его самосопряжённых расширений.

Первый основной критерий существенной самосопряжённости имеет следующий вид: Theorem 9.21

Эквивалентно, существенно самосопряжён тогда и только тогда, когда операторы имеют тривиальные ядра. Corollary 9.22 Иначе говоря, оператор не является самосопряжённым тогда и только тогда, когда оператор имеет собственный вектор с комплексными собственными значениями .

Другой взгляд на проблему даёт преобразование Кэли самосопряжённого оператора и индексы дефекта.

Оператор является изометрическим на своей области определения. Кроме того, плотно в .

Обратно, пусть дан плотно определённый оператор , являющийся изометрическим на своей (не обязательно замкнутой) области определения, и такой, что имеет плотный образ. Тогда существует и единственный плотно определённый симметрический оператор

такой, что

Отображения и являются взаимно обратными, то есть .

Отображение называется преобразованием Кэли. Оно сопоставляет частично определённую изометрию каждому симметрическому плотно определённому оператору. Заметим, что отображения и являются монотонными: это означает, что если — симметрический оператор, являющимся расширением плотно определённого симметрического оператора , то является расширением , и аналогично для .

Это сразу даёт необходимое и достаточное условие существования самосопряжённого расширения оператора :

Частично определённый изометрический оператор на гильбертовом пространстве имеет единственное изометрическое расширение на нормальное замыкание . Частично определённый изометрический оператор с замкнутой областью определения называется частичной изометрией.

Определим дефектные подпространства оператора следующим образом:

На этом языке описание задачи о самосопряжённых расширениях можно переформулировать так: симметрический оператор имеет самосопряжённые расширения тогда и только тогда, когда дефектные подпространства и имеют одинаковую размерность

Индексы дефекта частичной изометрии определяются как размерности ортогональных дополнений области определения и образа:

Существует биекция между симметрическими расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметрическое расширение является самосопряжённым тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.

Симметрический оператор имеет единственное самосопряжённое расширение тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны нулю. Такой оператор называется существенно самосопряжённым. Симметрические операторы, не являющиеся существенно самосопряжёнными, всё же могут иметь каноническое самосопряжённое расширение. Так обстоит дело для неотрицательных симметрических операторов (или, более общо, операторов, ограниченных снизу). Такие операторы всегда имеют канонически определённое расширение Фридрихса, и для них можно определить каноническое функциональное исчисление. Многие операторы, возникающие в анализе, ограничены снизу (например, отрицательный лапласиан), поэтому вопрос существенной самосопряжённости для них менее критичен.

Пусть — плотно определённый симметрический оператор. Тогда любое симметрическое расширение оператора является сужением оператора . Действительно, из и симметричности следует по определению области определения . Это приводит к формулам фон Неймана:

Пример

Рассмотрим гильбертово пространство . На подпространстве абсолютно непрерывных функций, обращающихся в нуль на границе, определим оператор по формуле

Интегрирование по частям показывает, что является симметрическим. Его сопряженный оператор задается той же формулой, но область определения состоит из абсолютно непрерывных функций без граничных условий. Мы увидим, что расширение оператора сводится к изменению граничных условий, тем самым расширяя и сужая , пока эти области определения не совпадут.

Непосредственное вычисление показывает, что и — одномерные подпространства, задаваемые равенствами

где — нормировочная константа. Самосопряженные расширения оператора параметризуются группой . Поскольку , определим унитарное преобразование по формуле

Этому соответствует расширение с областью определения

Если , то абсолютно непрерывна и

Обратно, если абсолютно непрерывна и для некоторого , то принадлежит указанной выше области определения.

Самосопряженные операторы возникают при рассмотрении оператора импульса в квантовой механике.

Примечания

Литература

A. Alonso and B. Simon, The Birman-Krein-Vishik theory of self-adjoint extensions of semibounded operators. J. Operator Theory 4 (1980), 251-270. Gr. Arsene and A. Gheondea, Completing matrix contractions, J. Operator Theory 7 (1982), 179-189. N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part II, Interscience, 1958.

Категория:Функциональный анализ Категория:Теория операторов