Частотная область — это метод анализа математических функций или сигналов, который фокусируется на частоте (и, возможно, фазе), а не на времени, как во временны́х рядах. Если график во временно́й области показывает изменение сигнала со временем, то график в частотной области отображает распределение сигнала по различным частотным диапазонам. Комплексное представление в частотной области включает как амплитуды, так и фазы набора синусоид (или других базовых форм волн) на частотных составляющих сигнала. Хотя частотная характеристика сигнала обычно ассоциируется с амплитудной частью (действительной частью частотной области), фазовая часть необходима для однозначного определения сигнала.

Заданная функция или сигнал могут быть преобразованы между временно́й и частотной областями с помощью пары математических операторов, называемых преобразованиями. Примером является преобразование Фурье, которое преобразует временну́ю функцию в комплекснозначную сумму или интеграл синусоидальных волн различных частот с амплитудами и фазами, каждая из которых представляет собой частотную составляющую. «Спектр» частотных составляющих является представлением частотной области сигнала. преобразует функцию частотной области обратно в функцию временно́й области. Анализатор спектра — это инструмент, обычно используемый для визуализации электронных сигналов в частотной области.

Представление частотной области может описать либо статическую функцию, либо определённый период времени динамической функции (сигнала или системы). Преобразование частот динамической функции выполняется для конечного периода времена функции и предполагается, что функция бесконечно повторяется вне периода. Некоторые специализированные методы обработки сигналов для динамических функций используют преобразования, которые приводят к совместной , при этом является ключевой связью между временно́й областью и частотной областью.

Преимущества Часто при анализе задач используют представление в частотной области, чтобы упростить математические расчёты. Для математических систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, которые представляют собой важный класс систем с множеством практических применений, переход от временной области к частотной преобразует дифференциальные уравнения в алгебраические, которые решать значительно проще.

Кроме того, рассмотрение системы с точки зрения частоты часто позволяет получить интуитивное понимание её качественного поведения, и для описания этого поведения развилась специальная научная терминология, позволяющая характеризовать реакцию физических систем на изменяющиеся во времени воздействия. Используются такие понятия, как полоса пропускания, амплитудно-частотная характеристика, коэффициент передачи, сдвиг фазы, резонансные частоты, постоянная времени, добротность, , ширина резонанса, гармоники, спектр, спектральная плотность мощности, собственные значения, полюса и нули.

Примером области, где анализ в частотной области даёт лучшее понимание, чем анализ во временной области, является музыка. Принцип работы музыкальных инструментов и нотная запись, используемая для фиксации и обсуждения музыкальных произведений, по сути, основаны на разложении сложных звуков на составляющие их частоты, то есть на ноты.

Магнитуда и фаза

При использовании преобразования Лапласа, Z-преобразоания, или преобразования Фурье сигнал описывается комплексной функцией частоты — составляющая сигнала на любой заданной частоте выражается комплексным числом. Модуль этого числа есть амплитуда данной составляющей, а аргумент — фазой волны. Например, с помощью преобразования Фурье звуковая волна, такая как человеческая речь, может быть разложена на составляющие тоны различных частот, каждый из которых представлен синусоидой с определённой амплитудой и фазой. Отклик системы, как функция частоты, может быть описан комплексной функцией. Во многих случаях фазовая информация несущественна. Отбрасывая её, можно упростить представление информации в частотной области, создав спектр частот или спектралную плотность. Анализатор спектра — это устройство, которое показывает спектр, в то время как сигнал во временной области можно наблюдать в осциллографе.

Типы

Хотя о частотной области говорят в единственном числе, существует ряд различных математических преобразований, используемых для анализа функций временной области и называемых методами «частотной области». Ниже приведены наиболее распространённые преобразования и области их применения: Ряды Фурье – периодические сигналы, колебательные системы. Преобразование Фурье – апериодические сигналы и переходные процессы. Преобразование Лапласа – электронные схемы и системы управления. Z-преобразование – , цифровая обработка сигналов. Вейвлет-преобразование — анализ изображения, сжатие данных. В более общем смысле, можно говорить о пространстве преобразования применительно к любому преобразованию. Вышеупомянутые преобразования можно интерпретировать как улавливающие некоторую форму частоты, и поэтому пространство преобразования называется частотной областью.

Дискретная частотная область

Дискретная частотная область — это частотная область, которая дискретна, а не . Например, дискретное преобразование Фурье отображает функцию с в функцию, имеющую дискретную частотную область. , с другой стороны, отображает функции с дискретным временем () в функции, имеющие непрерывные частотные области.

Периодические сигналы имеет энергию только на основной частоте и её гармониках. Таким образом, их можно анализировать с помощью дискретной частотной области. порождают периодический частотный спектр. В ситуации, когда оба эти условия выполняются, дискретный и периодический сигнал приводит к частотному спектру, который также является дискретным и периодическим. Это обычный контекст для дискретного преобразования Фурье.

История термина Использование терминов «частотная область» и «временна́я область» возникло в области связи а 1950-х и начале 1960-х, причём термин «частотная область» появился в 1953 году. См. временна́я область:происхождение термина для деталей.

См. также

Полоса пропускания

Анализ Фурье for computing periodicity in evenly spaced data for computing periodicity in unevenly spaced data Обратная решётка Оконное преобразование Фурье

Вейвлет Вейвлет-преобразование – Цифровая обработка изображений,

Примечания

Goldshleger, N., Shamir, O., Basson, U., Zaady, E. (2019). Frequency Domain Electromagnetic Method (FDEM) as tool to study contamination at the sub-soil layer. Geoscience 9 (9), 382.

Литература для дальнейшего чтения .

Категория:Статистическая обработка сигнала Категория:Обработка сигналов Категория:Функциональный анализ