Разность гауссианов — это алгоритм улучшения признаков, который заключается в вычитании одной размытой по Гауссу версии изображения из другой, менее размытой, версии того же изображения. В простейшем случае для изображений в оттенках серого размытые изображения получаются свёрткой исходного изображение с гауссовыми ядрами, имеющими разную ширину (стандартные отклонения). Размытие изображения с помощью гауссова ядра подавляет только информацию. Вычитание одного изображения из другого сохраняет пространственную информацию, которая находится в диапазоне частот, сохраняемых в двух размытых изображениях. Таким образом, разность гауссианов является пространственным полосовым фильтром, который ослабляет частоты в исходном изображении в оттенках серого, находящиеся далеко от центра полос.
Формулировка
Пусть обозначает радиальную гауссову функцию со средним значением и дисперсией , то есть многомерную гауссову функцию со средним значением и ковариацией . Мы имеем
Разность гауссианов с дисперсиями — это функция ядра , полученная вычитанием гауссиана с большим стандартным отклонением из гауссиана с меньшим отклонением. Оператор разности гауссианов является свёрточным оператором, связанным с этой функцией ядра. Таким образом, для n-мерного изображения в оттенках серого разность гауссианов изображения представляет собой n-мерное изображение
Поскольку свёртка является билинейной операцией, свёртка с разностью гауссианов эквивалентна применению двух различных гауссовых размытий с последующим вычитанием. На практике ж она быстрее, поскольку размытие по Гауссу является .
Аппроксимация Разность гессианов может рассматриваться как аппроксимация функции ядра «мексиканская шляпа», используемой в лапласиана гауссиана. Ключевое наблюдение состоит в том, что семейство гауссианов является фундаментальным решением уравнения теплопроводности
Левая часть может быть приближена разностным отношением
В то же время правая часть точно соответствует лапласиану гауссиана. Обратите внимание, что лапласиан гауссиана может использоваться в качестве фильтра для получения размытия по Гауссу лапласиана изображения, поскольку согласно стандартным свойствам свёртки. Взаимосвязь между оператором разности гауссианов и оператором лапласиана гауссиана подробно объясняется в приложении A работы Линдеберга 2015 года.
Детали и приложения
Как алгоритм улучшения признаков, разность гауссианов может использоваться для улучшения видимости краёв и других деталей в цифровом изображении. Множество альтернативных фильтров повышения резкости краёв работают за счёт усиления высокочастотных деталей, однако, поскольку случайный шум имеет также высокие пространственные частоты, многие из этих фильтров склонны усиливать шум, что может быть нежелательным артефактом. Алгоритм разности гауссианов удаляет высокочастотные детали, которые часто включают случайный шум, что делает этот подход одним из наиболее подходящих для обработки изображений с высоким уровнем шума. Основным недостатком применения этого алгоритма является неизбежное снижение общего контраста изображения, вызванное его работой.
При использовании для улучшения изображений алгоритм разности гауссианов обычно применяется, когда соотношение размеров ядра (2) к ядру (1) равно 4:1 или 5:1. В приведённых примерах размеры ядер, использованных для сглаживания элемента изображения были 10 и 5 пикселов.
Алгоритм также может быть применен для получения приближения лапласиана гауссиана, когда соотношение размера 2 к размеру 1 составляет примерно 1,6. Лапласиан гауссиана полезен для выделения краёв, проявляющихся при различных масштабах изображения или степенях его фокусировки. Точные значения размеров двух ядер, используемых для аппроксимации лапласиана гауссиана, определяют масштаб разностного изображения, которое в результате может выглядеть размытым.
Разности гауссианов также применялись для выделения пятен в преобразовании признаков, инвариантном к масштабу (SIFT). Фактически, разность гауссианов, как разность двух многомерных нормальных распределений, всегда имеет нулевую сумму и её свёртка с равномерным сигналом не даёт отклика. Она хорошо аппроксимирует вторую производную гауссиана при K~1,6 и рецептивные поля ганглионарных клеток сетчатки при K~5. Её легко использовать в рекурсивных схемах, и она применяется как оператор в алгоритмах реального времени для выделения пятен и автоматического выбора масштаба.
Дополнительная информация
Считается, что в своей работе алгоритм разности гауссианов имитирует то, как нейронная обработка в сетчатке глаза извлекает детали из изображений, предназначенных для передачи в мозг.
См. также
Разность гауссианов в статье «Выделение пятен». Выделение пятен Пирамида изображений Масштабное пространство
Примечания
Литература для дальнейшего чтения Notes by Melisa Durmuş on Edge Detection and Gaussian related mathematics from the University of Edinburgh.
Категория:Непрерывные вейвлеты Категория:Выделение признаков (компьютерное зрение)