Стабильные гомотопические группы — гомотопические группы после достаточно большого числа применений надстройки к сфере и самому пространству, то есть
при достаточно большом ; здесь обозначает -ю стабильную гомотопическую группу пространства , а — -кратную надстройку над .
Согласно теореме Фрейденталя о надстройке, для любого пространства с отмеченной точкой гомотопические группы стабилизируются при достаточно больших .
Случай сфер
Гомотопические группы сфер стабилизируются при .
Значит стабильные гомотопические группы сфер зависят только от разности размерностей, то есть они определяются группой
при . Группа абелева при любом . Теорема Жана-Пьера Серра утверждает, что эти группы конечны при .Serre, Jean-Pierre (1953). «Groupes d'homotopie et classes de groupes abéliens». Annals of Mathematics. 58 (2): 258—295. doi:10.2307/1969789.
Композиция превращает в градуированное кольцо. Теорема Горо Нисиды утверждает, что все элементы положительной степени в этом кольце нильпотентны.Nishida, Goro (1973). «The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres». Journal of the Mathematical Society of Japan. 25 (4): 707—732. doi:10.2969/jmsj/02540707. Следовательно, единственные простые идеалы — это простые числа в .
Примечания
Литература Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — : Наука, 1979 Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — : Наука, 1977 Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — : Наука, 1985 Спеньер Э. Алгебраическая топология. — : Мир, 1971 Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — : Наука, 1989
Категория:Алгебраическая топология Категория:Теория гомотопий