В статистике теорема Басу утверждает, что любая ограниченно полная и достаточная статистика независима от любой вспомогательной статистики. Этот результат получил в 1955 году.
Она часто используется в статистике для доказательства независимости двух статистик, показывая, что одна полная и достаточная, а другая вспомогательная, после чего применяется теорема. Например, можно показать, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимыми статистиками, как это сделано в разделе "Пример" ниже. Это свойство (независимости выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальное распределение.
Утверждение
Пусть — это семейство распределений на измеримом пространстве и статистика отображает из в какое-то измеримое пространство . Если — ограниченно полная и достаточная статистика для и — вспомогательная статистика для , тогда, при фиксированном статистики и независимы, то есть .
Доказательство
Пусть и частные распределения и соответственно.
Обозначим через обратный образ множества при отображении . Для измеримого множества получим:
.
Распределение не зависит от , поскольку — вспомогательная статистика. Подобно этому, не зависит от , поскольку достаточна. Отсюда
.
Заметим, что интегрируемая функция зависит от , а не от . Отсюда, поскольку ограниченно полная статистика
равна нулю для почти всюду и поэтому
для почти всех . Поэтому не зависит от .
Пример
Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения
Пусть , , ... — независимые одинаково распределённые нормальные случайные величины со средним и дисперсией .
Тогда относительно параметра можно показать, что , выборочное среднее — это полная и достаточная статистика — это вся информация, которая может быть выведена для оценки , но не больше, и , выборочная дисперсия — это вспомогательная статистика, её распределение не зависит от .
Отсюда по теореме Басу следует, что эти статистики независимы при фиксированных значениях и .
Эту независимость можно доказать, используя .
Дальше, это свойство (что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения независимы) нормальное распределение, ни одно другое распределение не обладает таким свойством.
Примечания
Литература