В статистике преобразование Фишера (или z-преобразование Фишера коэффициента корреляции Пирсона) — это обратный гиперболический тангенс (). Когда выборочный коэффициент корреляции близок к или , распределение сильно асимметрично, что осложняет оценку доверительных интервалов и применение тестов значимости для коэффициента корреляции генеральной совокупности
. Преобразование Фишера решает эту проблему, переходя к приблизительно нормально распределённой величине со стабильной дисперсией относительно разных значений .
Определение
Для выборки из двумерных пар , выборочный коэффициент корреляции
.
Здесь означает ковариацию между переменными и , а означает стандартное отклонение соответствующей переменной. Z-преобразование Фишера для коэффициента корреляции определяется так: , где — это функция натурального логарифма, а — обратный гиперболический тангенс.
Если имеет двумерное нормальное распределение с корреляцией и пары независимо и одинаково распределены, тогда примерно нормально распределено со средним
и стандартным отклонением, которое не зависит от значения корреляции (т.е. это преобразование, стабилизирующее дисперсию) и выражается как , где — это размер выборки, а — истинное значение коэффициента корреляции.
Это преобразование и обратное к нему
используются для построения доверительного интервала на больших выборках для коэффициента корреляции с помощью теории стандартного нормального распределения и выводов из неё. См. также применение к .
Вывод
.
Краткий вывод преобразования Фишера по Хоттелингу.
Для вывода преобразования Фишера рассматривают произвольную возрастающую, дважды дифференцируемую функцию от , обозначим её . Найдя первый член асимптотического разложения соответствующего коэффициента асимметрии при больших получим . Положив и решив соответствующее дифференциальное уравнение для , получим функцию обратного гиперболического тангенса .
Таким же образом распишем среднее и дисперсию для получим:
и
соответственно.
Дополнительные члены не являются частью обычного преобразования Фишера. Для больших значений и для маленьких значений они позволяют значительно улучшить точность при минимальных вычислительных затратах, хотя у вычисления обратного преобразования нет аналитического решения. Почти постоянная дисперсия преобразования получается за счёт устранения асимметрии, основное улучшение достигается именно из-за этого, а не из-за дополнительных членов. Если включить дополнительные члены и вычислить получается величина: , распределение которой с высокой точностью приближается к стандартному нормальному распределению.
Применение
Применение преобразования Фишера можно улучшить, используя программный калькулятор, как показано на рисунке. Предполагая, что равен и и принимая доверительный интервал, значение в другой случайной выборке из той же генеральной совокупности может варьироваться от до . Если значение находится вне этого интервала, это может указывать на то, что генеральная совокупность отличается от предполагаемой.
Обсуждение
Преобразование Фишера — это приблизительное преобразование, стабилизирующее дисперсию для , когда и двумерно нормально распределены. Это означает, что дисперсия приблизительно постоянна для всех значений генеральной совокупности коэффициента корреляции . Без преобразования Фишера дисперсия уменьшается по мере того, как стремится к . Поскольку преобразование Фишера приблизительно совпадает с тождественной функцией, когда , иногда полезно помнить, что дисперсия хорошо приближается величиной , пока не слишком велико и не слишком мало.
Поведение этого преобразования подробно изучалось с тех пор, как Фишер ввёл его в 1915 году. Фишер нашёл точное распределение для двумерных нормально распределённых данных в 1921 году; Гайен в 1951 году получил точное распределение для двумерного распределения Эджуорта типа A. Хотеллинг в 1953 году вычислил разложение в ряд Тейлора для моментов и нескольких связанных статистик и Хокинс в 1989 году нашёл асимптотическое распределение для данных из распределения с ограниченными четвёртыми моментами.
В качестве альтернативы вместо преобразования Фишера можно использовать точную плотность доверительного распределения для через
где — гипергеометрическая функция Гаусса, а .
Другие применения
Хотя преобразование Фишера в основном связывают с коэффициентом корреляции произведения моментов Пирсона для двумерных нормальных наблюдений, его также можно применять к коэффициенту ранговой корреляции Спирмена в более общих случаях. Аналогичный результат для асимптотического распределения сохраняется, но с небольшой поправкой — для подробностей см. примечания.
См. также
Преобразование данных (статистика) Метаанализ (это преобразование используется в метаанализе для стабилизирования дисперсии)
Вывод на основе корреляции Пирсона (англ.)
Примечания