Двойное число Мерсенна — число Мерсенна вида = , где — простое число.
Первые четыре двойных чисел Мерсенна:
Двойное простое число Мерсенна — двойное число Мерсенна, являющееся простым. Поскольку число Мерсенна может быть простым только в том случае, если является простым числом, число и может быть простым только если само является простым числом. Для первых значений , для которых является простым числом, известно, что является простым числом для , равного 2, 3, 5 и 7, а явные множители были найдены для 13, 17, 19 и 31.
факторизация 2 3 простое 7 3 7 простое (тройное) 127 5 31 простое 2147483647 7 127 простое (четверное) 170141183460469231731687303715884105727 11 не простое не простое 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × … 13 8191 не простое число 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × … 17 131071 не простое число 231733529 × 64296354767 × … 19 524287 не простое число 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × 4565880376922810768406683467841114102689 × … 23 не простое не простое 2351 × 4513 × 13264529 × 285212639 × 76899609737 × … 29 не простое не простое 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 52006801325877583 × 4126110275598714647074087 × … 31 2147483647 не простое (тройное число Мерсенна) 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × … 37 не простое не простое 41 не простое не простое 43 не простое не простое 47 не простое не простое 53 не простое не простое 59 не простое не простое 61 2305843009213693951 неизвестно
Таким образом, наименьшим кандидатом на следующее двойное простое число Мерсенна является , или 22305843009213693951−1, приблизительно равным 1,695, это число слишком велико для любого известного на данный момент теста на простоту. В нём нет простых множителей меньше 1×10³⁶. Вероятно, других простых чисел двойного Мерсенна, кроме четырёх известных, не существуетI. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) стр. 120—121 [получено 19.10.2012].
Наименьшие простые множители числа (где — -е простое число): 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (следующий член > 1 × 1036)
Последовательность, определённая рекурсивно:
называется последовательностью чисел Каталана — Мерсенна, первые её члены:
Примечания
Категория:Теория чисел Категория:Арифметика