, π (произносится «пи») — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметруЭто определение пригодно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в геометрии Лобачевского это отношение меньше, чем .. Числу «пи» также можно дать множество других определений, например это отношение полупериода функции к её максимальному значению. Обозначается буквой греческого алфавита «π». На декабрь 2025 года известны первые 314 триллионов (или 3,14*1014) знаков числа «пи» после запятой.
Свойства
Трансцендентность и иррациональность Число иррационально, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби , где — целое число, а — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел и . Несколько доказательств подробно приведено в статье Доказательства иррациональности π.
— трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 годуДоказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 году.. Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа , то доказательство трансцендентности положило конец попыткам построить квадратуру круга, длившимся более 2,5 тысяч лет.
В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа . В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального числа и алгебраически независимы, откуда, в частности, следуетМодулярные функции и вопросы трансцендентности трансцендентность чисел и .
является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли к кольцу периодов.
Соотношения Известно много формул для вычисления числа :
Формула Виета для приближения числа π: Это первое известное явное представление с бесконечным числом операций. Доказать его можно следующим образом. Применив тождество рекурсивно и перейдя к пределу, получим Остаётся подставить и воспользоваться формулой косинуса двойного угла: Формула Валлиса: Ряд Лейбница: Ряд с использованием двойного факториала: Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном: Ряд Нилаканты: Другие ряды: Следующие ряды позволяют вычислять знаки в шестнадцатеричной записи числа пи без вычисления предыдущих знаков: Кратные ряды: Пределы: Тождество Эйлера: Другие связи между константами: Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном: Т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса: Интегральный синус: Выражение через дилогарифм: Через несобственный интеграл: История
Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов — окружность, периферия и — периметр.
Исследование числа и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Сначала изучалось с позиции геометрии, затем развитие математического анализа в XVII веке показало универсальность этого числа.
Геометрический период То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э.
В Древнем Вавилоне принимали равным трём, что соответствовало замене длины окружности на периметр вписанного в неё шестиугольника. Площадь круга определялась как квадрат длины окружности, делённый на 12, что также соответствует допущению Самые ранние из известных более точных приближений датируются примерно 1900-ми годами до н. э.: это 25/8 = 3,125 (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства)E. M. Bruins. Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse , 1950. и 256/81 ≈ 3,16 (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт в качестве приближения дробь 339/108 ≈ 3,139.
Китайский философ и учёный Чжан Хэн во II веке предложил для числа два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622. В священных книгах джайнизма, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда и в Индии принимали равным
Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника — как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку и предложил для приближённого вычисления верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд, дав значение хорды для углов в диапазоне от 1/2 градуса до 180 градусов с шагом в полградуса, что позволило ему получить для приближение 377/120, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для , приводит своё приближение — 864/275. Но оно оказалось хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377/120 оказалось верхней границей для .
В Индии Ариабхата и Бхаскара I использовали приближение 3,1416. Варахамихира в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением .
Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный для вычисления с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для по следующему принципу:
Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.
В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа в течение последующих 900 лет.
Классический период До II тысячелетия было известно не более 10 цифр . Дальнейшие крупные достижения в изучении связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.
Ряд Мадхавы — Лейбница
В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:
Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того, как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в
Мадхава смог вычислить как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа , из которых 16 верные.
Лудольфово число
Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа с 20 десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».
Лудольфово число — приближённое значение для числа с 35 верными десятичными знаками.
Формула Виета для приближения π
Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа π:
найденная Франсуа Виетом в 1593 году.
Формула Валлиса
Другим известным результатом стала формула Валлиса:
выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.
Аналогичные произведения
Произведение, доказывающее родственную связь с числом e
Методы, основанные на тождествах В Новое время для вычисления используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.
Формулы Мэчина
Первый эффективный и современный способ нахождения числа (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году Исаак Ньютон во втором письме к Ольденбургу, разлагая в ряд . На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин
Разложив арктангенс в ряд Тейлора
можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа с большой точностью.
Формулы такого типа, в настоящее время известные как , использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления компьютерами. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счётчиком Иоганном Дазе, который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр . Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Уильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр. Однако он допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков .
Пи — трансцендентное число
Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа , чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Ламберт доказал иррациональность в 1761 году, а Адриен Лежандр в 1774 году доказал иррациональность . В 1735 году была установлена связь между простыми числами и , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения
которое оказалось равно . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.
В 1945 году Картрайт упростила элементарное доказательство Шарля Эрмита иррациональности числа .
Символ «π»