Подготовительная теорема Вейерштрасса — теорема в математике, которая описывает аналитические функции многих комплексных переменных в окрестности заданной точки . Она говорит, что любую такую функцию можно представить как произведение приведённого многочлена по одной фиксированной переменной , коэффициенты которого являются аналитическими функциями других переменных, и функции, отличной от нуля в точке .

Классический случай Аналитическая функция одной переменной в окрестности точки имеет вид , где , и  — порядок нуля функции в точке . Подготовительная теорема Вейерштрасса обобщает этот результат. В случае комплексных переменных , , …, многочлен Вейерштрасса определяется как

где все  — заданные в окрестности нуля аналитические функции переменных , …, , и .

Теорема утверждает, что если функция аналитична, причём не равна тождественно нулю, то в некоторой окрестности нуля эту функцию можно представить как произведение

где , и  — многочлен Вейерштрасса.

Отсюда сразу следует, что все близкие к нули можно найти, если выбрать произвольные близкие к нулю значения , …, , а затем решить уравнение . Соответствующие значения образуют непрерывно зависящие от ветви, количество которых совпадает со степенью многочлена . В частности, у не может быть изолированных нулей.

Теорема деления Тесно связанный результат — теорема деления Вейерштрасса, которая утверждает, что если и  — аналитические функции переменных , , …, , причём имеет в ноль кратности , то , где  — аналитическая функция, а  — многочлен степени меньше по . Многие авторы выводят подготовительную теорему Вейерштрасса из теоремы деления. Теорема деления также следует из подготовительной теоремы Вейерштрасса, так что эти две теоремы по сути равносильны.

Применение Из подготовительной теоремы Вейерштрасса следует, что кольцо ростков аналитических функций от переменных нётерово — утверждение, также известное как теорема Рюккерта о базисе, Proposition 2.19.

Гладкие функции Для гладких функций имеет место более глубокая подготовительная теорема Мальгранжа, доказанная Бернаром Мальгранжем. Ассоциированная с ней теорема деления носит имя Джона Мазера.

Формальные степенные ряды над полными локальными кольцами Похожее утверждение, которое тоже называют подготовительной теоремой Вейерштрасса, есть для кольца формальных степенных рядов над полным локальным кольцом :, chapter VII, § 3, no. 9, Proposition 6. для всякого степенного ряда такого, что не все лежат в максимальном идеале кольца , найдутся (и притом единственные) обратимый элемент кольца , и многочлен , (такие многочлены называют отмеченными) такие, что

это снова полное локальное кольцо, так что аналогичные утверждения верны для формальных степенных рядов многих переменных.

В частности, эта теорема применима к кольцу целых -адических чисел. Из неё следует, что любой степенной ряд однозначно представляется в виде , где  — обратимый степенной ряд, а  — отмеченный многочлен. Подготовительная теорема Вейерштрасса и теорема деления для кольца (также известного как алгебра Ивасавы) находят применение в теории Ивасавы при описании конечно порождённых модулей над этим кольцом Theorem 13.12.

Также существует некоммутативная версия подготовительной теоремы Вейерштрасса, где кольцо не обязательно коммутативно, а степенные ряды заменены на косые степенные ряды, Theorem 3.1, Corollary 3.2.

Алгебры Тейта Подготовительная теорема Вейерштрасса верна для алгебр Тейта

над полным неархимедовым полем , Chapters 5.2.1, 5.2.2.. Эти алгебры выступают в качестве строительных блоков для аналитической геометрии над неархимедовыми полями. Из такой формы подготовительной теоремы следует, в частности, нётеровость алгебр .

Примечания

Литература

, reprinted in

reprinted by Johnson, New York, 1967.

Категория:Математический анализ