Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из характеров на обратимых элементах . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством
где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.
Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.
Аксиоматическое определение Характер Дирихле — это любая функция на множестве целых чисел с комплексными значениями, имеющая следующие свойства:
Существует положительное целое число k, такое что для любых n. Если n и k не взаимно просты, то ; если же они взаимно просты, . для любых целых m и n.
Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) . Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что , так что <li>. Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле является характером.
Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что <li>если , то . Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что (где является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), , а по свойству 3) . Следовательно, <li>Для всех a, взаимно простых с k, является -ым комплексным корнем из единицы, то есть для некоторого целого .
Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.
Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с , называется главным: . В группе характеров по модулю он играет роль единицы.
Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным
Знак характера зависит от его значения в точке −1. Говорят, что нечётный, если , и чётный, если .
Построение через классы вычетов
Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы обратимых элементов кольца как расширенные характеры классов вычетов.
Классы вычетов Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k:
То есть класс вычетов является классом смежности n в факторкольце .
Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка , где умножение в группе задаётся равенством , а снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов , а обратным элементом для является класс вычетов , где , то есть . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.
Группа характеров состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов на примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что факторизуются как .
Характеры Дирихле Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен группы обратимых элементов по модулю k: группа гомоморфизмов из в ненулевые комплексные числа
,
со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем до функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле.
Главный характер по модулю k имеет свойства
при НОД(n, k) = 1 и при НОД(n, k) > 1.
Ассоциированный характер мультипликативной группе является главным характером, который всегда принимает значение 1.
Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.
Имеется характеров Дирихле по модулю n.
Примеры
Для любого нечётного модуля символ Якоби является характером по модулю . Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.
Некоторые таблицы характеров Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры являются главными характерами.
По модулю 1 Существует характер по модулю 1:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0
| 1
Это тривиальный характер.
По модулю 2 Существует характер по модулю 2:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1
| 0 | 1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.
По модулю 3 Есть характера по модулю 3:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2
| 0 | 1 | 1
| 0 | 1 | −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.
По модулю 4 Существует характера по модулю 4:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3
| 0 | 1 | 0 | 1
| 0 | 1 | 0 | −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.
L-ряд Дирихле для равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)
,
где является дзета-функцией Римана. L-ряд для является бета-функцией Дирихле
По модулю 5 Существует характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из .
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1
| 0 | 1 | i | −i | −1
| 0 | 1 | −1 | −1 | 1
| 0 | 1 | −i | i | −1
Заметим, что полностью определяется значение , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.
По модулю 6 Существует характеров по модулю 6:
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1
Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.
По модулю 7 Существует характеров по модулю 7. В таблице ниже
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1
| 0 | 1
| −1
| 0 | 1 | −
| 1
| 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1
| 0 | 1
| 1
| 0 | 1
| −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.
По модулю 8 Существует характеров по модулю 8.
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1
| 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1
| 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1
Заметим, что полностью определяется значениями и , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.
По модулю 9 Существует характеров по модулю 9. В таблице ниже
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1
| 0 | 1 | | 0
| 0 | | −1
| 0 | 1 | | 0
| 0 | | 1
| 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1
| 0 | 1 | | 0
| 0 | | 1
| 0 | 1 | | 0
| 0 | | −1
Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.
По модулю 10 Существует характеров по модулю 10.
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1
| 0 | 1 | 0 | i | 0 | 0 | 0 | −i | 0 | −1
| 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1
| 0 | 1 | 0 | −i | 0 | 0 | 0 | i | 0 | −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.
Примеры
Если p является нечётным простым числом, то функция
где является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p.
Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция
где является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m.
Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби.
Примитивные характеры и кондуктор При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если является характером по модулю M, он индуцирует характер по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю.
Если – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для , если для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля.
Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров и как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер , порождённый как , так и . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.
Непримитивность характеров может привести к отсутствию в их L-функциях.
Ортогональность характеров Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле.
Если мы зафиксируем характер по модулю n, то
,
если не главный характер, иначе сумма равна .
Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт ,
кроме случая a=1, когда сумма равна .
Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле.
История Характеры Дирихле вместе с их -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для и в основном когда стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.
См. также
Сумма Гаусса Примитивный корень по модулю n
Примечания
Литература
см. главу 13.
Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Дзета- и L-функции