Теорема Петера — Вейля — фундаментальный результат теории представлений и гармонического анализа, обобщает свойства представлений конечных групп, в частности, теорему Машке, на случай компактных групп Ли. Установлена Германом Вейлем совместно со своим студентом Фрицом Петером. Формулировка теоремы состоит из двух частей: любая непрерывная (квадратично интегрируемая) комплекснозначная функция на компактной группе может быть аппроксимирована по соответствующей норме линейными комбинациями функций, составляющими класс так называемых матричных элементов группы; любое унитарное представление компактной группы над гильбертовым пространством разлагается в прямую сумму конечномерных неприводимых унитарных представлений группы.
Матричные элементы Пусть — конечномерное представление группы . Назовём матричным элементом функцию вида
где — соответствующее матричное представление группы . В частности, если ввести в пространстве базис и рассмотреть
полученные функции будут совпадать с коэффициентами матрицы соответствующего представления, что объясняет их название. Матричные элементы представляют собой непрерывные функции, образующие кольцо относительно поточечных суммы и произведения, инвариантное относительно комплексного сопряжения.
Данный класс функций обладает важным свойством, позволяющим использовать для них эквивалентное определение, не привязанное к конкретному матричному представлению. Именно, рассмотрим действие компактной группы на пространстве непрерывных функций , определённое как правая трансляция (альтернативно можно рассматривать левую):
Функция является матричным элементом для некоторого конечномерного представления группы в том и только в том случае, когда минимальное -инвариантное подпространство, содержащее , конечномерно.
Первая часть теоремы Петера-Вейля утверждает, что пространство матричных элементов всюду плотно в . Если — матричная группа, нетрудно показать, что кольцо матричных элементов является алгеброй Стоуна. Вместе с тем фактом, что для каждой компактной группы Ли существует матричное представление, данное утверждение можно рассматривать как частный случай теоремы Вейерштрасса-Стоуна.
Как следствие, теорема справедлива для функций из .
Разложение унитарного представления Представление группы называется унитарным, если оно снабжено -инвариантным скалярным произведением:
для всех
В конечномерных и гильбертовых пространствах такое скалярное произведение всегда существует. Вторая часть теоремы Петера-Вейля говорит о возможности разложения унитарного представления в ортогональную прямую сумму неприводимых. Для конечномерных представлений доказательство производится индукцией по размерности, в бесконечномерном случае необходимо дополнительно показать, что в гильбертовых пространствах всегда существует конечномерное инвариантное подпространство.
Следствия теоремы
Существование конечномерного представления Для каждой компактной группы Ли существует точное конечномерное представление , как следствие, она изоморфна замкнутой подгруппе для некоторого . Более того, любое другое неприводимое представление группы содержится в пространстве вида
где раз взято и раз взято .
Разложение квадратично интегрируемых функций Рассматриваем пространство как представление прямого произведения групп с действием, определённым по правилу
Для алгебры матричных элементов справедлив изоморфизм
где — множество всех неприводимых представлений группы . Так как всюду плотна в , можно говорить о разложении по ортонормированному базису:
Известным частным случаем этого утверждения является представление группы . Все её неприводимые представления одномерны, и даются выражением:
Функция является, кроме того, единственным матричным коэффициентом для соответствующего представления. Таким образом, функции образуют ортонормированный базис на пространстве , что является стандартным результатом Фурье-анализа.
Полнота системы неприводимых характеров Характером конечномерного представления группы мы называем функцию на группе
где — соответствующее линейное отображение, отвечает операции взятия следа. Важным следствием теоремы Петера-Вейля является тот факт, что характеры неприводимых представлений образуют базис на пространстве непрерывных и постоянных на классах сопряжённости функций (называемых также центральные функции).
Примечания
Литература
Категория:Теория представлений Категория:Теория представлений групп Ли