В математической теории множеств свойство большого кардинала — это определённый тип свойства трансфинитных кардинальных чисел. Кардиналы, обладающие такими свойствами, как следует из названия, обычно являются очень «большими» (например, больше, чем наименьший ординал α, такой что α = ωα). Утверждение о существовании таких кардиналов не может быть доказано в самой распространённой аксиоматике теории множеств, а именно в ZFC, и подобные утверждения можно рассматривать как способ измерения того, «сколько» предположений за рамками ZFC необходимо сделать, чтобы доказать те или иные желаемые результаты. Иными словами, по выражению Даны Скотта, их можно рассматривать как количественное выражение того факта, «что если вы хотите получить больше, вам придётся больше предположить».

Существует неформальное соглашение, согласно которому результаты, доказуемые исключительно в рамках ZFC, могут формулироваться без дополнительных предположений, но если доказательство требует других допущений (таких как существование больших кардиналов), их следует явно указывать. Является ли это просто лингвистическим соглашением или чем-то большим — спорный вопрос среди различных философских школ (см. раздел Мотивация и эпистемический статус ниже).

— это аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, множество таких кардиналов) с некоторым заданным свойством большого кардинала.

Большинство практикующих специалистов по теории множеств полагают, что рассматриваемые в настоящее время аксиомы больших кардиналов непротиворечивы вместе с ZFC. Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы влечь за собой непротиворечивость ZFC. Следствием этого (в силу второй теоремы Гёделя о неполноте) является то, что их совместная непротиворечивость с ZFC не может быть доказана в рамках самой ZFC (при условии, что ZFC действительно непротиворечива).

Общепринятого точного определения того, что представляет собой свойство большого кардинала, не существует, хотя практически все математики согласны с тем, что свойства, приведённые в списке свойств больших кардиналов, являются свойствами больших кардиналов.

Частичное определение Необходимым условием для того, чтобы свойство кардинальных чисел было свойством большого кардинала, является то, что существование такого кардинала не должно быть заведомо противоречащим ZF, и что такой кардинал Κ должен быть несчётным начальным ординалом, для которого LΚ является моделью ZFC. Если система ZFC непротиворечива, то из неё не следует существование каких-либо подобных больших кардиналов.

Иерархия силы непротиворечивости Удивительным наблюдением касательно аксиом больших кардиналов является то, что они, по-видимому, находятся в строгом линейном порядке по своей силе непротиворечивости. То есть не известно ни одного исключения из следующего правила: для любых двух аксиом больших кардиналов A1 и A2 выполняется ровно одно из трёх условий: ZFC + A1 непротиворечива тогда и только тогда, когда непротиворечива ZFC + A2; ZFC + A1 доказывает, что ZFC + A2 непротиворечива; или ZFC + A2 доказывает, что ZFC + A1 непротиворечива. Эти случаи взаимно исключают друг друга, если только одна из рассматриваемых теорий не является на самом деле противоречивой.

В первом случае мы говорим, что A1 и A2 равнонепротиворечивы. Во втором случае мы говорим, что A1 сильнее по непротиворечивости, чем A2 (и наоборот для третьего случая). Если A2 сильнее, чем A1, то теория ZFC + A1 не может доказать непротиворечивость ZFC + A2, даже со специальным дополнительным предположением, что сама ZFC + A1 непротиворечива (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте.

Наблюдение о том, что аксиомы больших кардиналов линейно упорядочены по силе непротиворечивости, является именно наблюдением, а не теоремой. (В отсутствие общепринятого определения свойства большого кардинала это утверждение не подлежит доказательству в обычном смысле.) Кроме того, не во всех случаях известно, какое именно из трёх логических отношений имеет место. Сахарон Шелах задавался вопросом: «Существует ли какая-то теорема, объясняющая это, или же наше видение просто более единообразно, чем мы думаем?» Однако Вудин выводит это из Ω-гипотезы, основной нерешённой проблемы в его Ω-логике. Примечательно также, что многие комбинаторные утверждения в точности равнонепротиворечивы с существованием некоторого большого кардинала, а не занимают, скажем, промежуточное положение между ними.

Упорядочение аксиом больших кардиналов по силе непротиворечивости не обязательно совпадает с их упорядочением по размеру их наименьших представителей (свидетелей). Например, существование огромного кардинала гораздо сильнее с точки зрения силы непротиворечивости, чем существование сверхкомпактного кардинала, но в предположении, что оба они существуют, первый огромный кардинал меньше, чем первый сверхкомпактный.Morgenstern 1979, Lemma 2.

Мотивация и эпистемический статус Большие кардиналы рассматриваются в контексте вселенной фон Неймана V, которая строится путём трансфинитной итерации операции взятия булеана (множества подмножеств), собирающей вместе все подмножества заданного множества. Как правило, модели, в которых аксиомы больших кардиналов не выполняются, можно естественным образом рассматривать как подмодели тех моделей, в которых эти аксиомы верны. Например, если существует недостижимый кардинал, то «обрезание вселенной» на высоте первого такого кардинала даёт вселенную, в которой нет недостижимых кардиналов. Или, если существует измеримый кардинал, то итерация операции взятия определимого булеана вместо полного булеана даёт конструктивную вселенную Гёделя, L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (хотя она содержит этот измеримый кардинал в качестве ординала).

Таким образом, с определённой точки зрения, разделяемой многими специалистами по теории множеств (особенно теми, кто вдохновлён традицией группы «Кабал»), аксиомы больших кардиналов «говорят», что мы рассматриваем все те множества, которые нам «положено» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и утверждают, что мы рассматриваем лишь некоторые из этих множеств. Более того, следствия аксиом больших кардиналов, по-видимому, укладываются в естественные закономерности (см. работу Пенелопы Мэдди «Believing the Axioms, II»). По этим причинам такие исследователи склонны считать, что аксиомы больших кардиналов обладают приоритетным статусом среди расширений ZFC — статусом, которого лишены аксиомы с менее ясной мотивацией (такие как Аксиома Мартина) или другие аксиомы, которые они считают интуитивно маловероятными (такие как V = L). Убеждённые реалисты в этой группе высказались бы проще: аксиомы больших кардиналов являются истинными.

Эта точка зрения отнюдь не является общепринятой среди специалистов по теории множеств. Некоторые формалисты утверждают, что стандартная теория множеств по определению является изучением следствий ZFC, и хотя они могут не возражать в принципе против изучения следствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Существуют также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является надлежащей мотивацией, и даже полагают, что аксиомы больших кардиналов ложны. И наконец, есть те, кто отрицает, что отрицания аксиом больших кардиналов являются ограничительными, указывая на то, что (например) в L может существовать модель из транзитивного множества, в которой истинно утверждение о существовании измеримого кардинала, даже несмотря на то, что сама L этому утверждению не удовлетворяет.

См. также Список свойств больших кардиналов

Примечания

Литература

.

Ссылки «Large Cardinals and Determinacy» в Стэнфордской философской энциклопедии (англ.)

Категория:Аксиомы теории множеств