В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.
Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.
Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.
Определение (n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле
где — биномиальный коэффициент.
Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства многочленов степени n.
Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна
называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.
Примеры Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:
Свойства
Дифференцирование
Леммы о моментах
для любых n и x, так как
для любых n и x
для любых n и x
Аппроксимация непрерывных функций
См. также Кривая Безье Интерполяция алгебраическими многочленами Формулы Ньютона Многочлен Лагранжа
Примечания
Категория:Вычислительная математика Категория:Многочлены