Модуль Карлица — алгебраическая структура, использующаяся в теории чисел и арифметике функциональных полей, задающая действие кольца многочленов над конечным полем на аддитивной группе. Является исторически первым и простейшим нетривиальным примером модуля Дринфельда (является модулем Дринфельда ранга 1).
Построен в 1935 году. Служит строгим функциональным аналогом мультипликативной группы для круговых числовых полей, позволяя строить абелевы расширения поля рациональных функций по аналогии с классической теорией полей классов.
Мотивация и классическая аналогия В классической алгебраической теории чисел изучение абелевых расширений поля рациональных чисел опирается на присоединение корней из единицы. Алгебраически это интерпретируется как изучение кручения мультипликативной группы , на которой кольцо целых чисел действует возведением в степень: .
Для поля рациональных функций над конечным полем естественным аналогом кольца выступает кольцо многочленов . Однако стандартное умножение не ведёт к богатой теории расширений Галуа. Карлиц обнаружил, что можно определить «новое» действие кольца на аддитивной алгебраической группе , которое порождает нетривиальные точки кручения и позволяет построить явную теорию полей классов для (что позже было доказано Дэвидом Хейсом в 1974 году).
Строгое определение В определении используются: — конечное поле характеристики ; ; ; произвольное -поле (то есть поле, снабжённое гомоморфизмом ); — эндоморфизм Фробениуса ; кольцо скрученных многочленов (кольцо Оре) , элементы которого имеют вид (), а умножение задаётся правилом для любого . Элементы взаимно однозначно соответствуют аддитивным -линейным многочленам над . Модулем Карлица называется -алгебраический гомоморфизм , который на образующей задаётся как: .
Это означает, что для любого элемента действие многочлена вычисляется как: .
В силу линейности и мультипликативности, действие любого многочлена определяется как . При этом всегда является аддитивным многочленом от степени . Например, для : .
Экспонента Карлица и аналитическая теория По аналогии с классической экспоненциальной функцией , Карлиц построил аналитический аппарат над пополнениями функциональных полей.
Пусть — пополнение поля по бесконечно удалённой точке, а — пополнение алгебраического замыкания . Поле является неархимедовым аналогом поля комплексных чисел .
Экспоненциальная функция Карлица определяется сходящимся степенным рядом: , где коэффициенты (аналоги факториалов) задаются рекуррентно: , а для выполняется .
Функция является целой (сходится на всём ), сюръективной и -линейной. Важнейшим свойством экспоненты Карлица является функциональное уравнение, связывающее её с модулем Карлица: . В общем случае для любого выполняется .
Период Карлица Ядром экспоненциального отображения является дискретный -модуль (решётка) ранга 1: . Константа называется периодом Карлица и является строгим аналогом числа . Она определяется (с точностью до умножения на элемент из ) бесконечным произведением: . В 1941 году Лютер Уэйд доказал, что период трансцендентен над , что является функциональным аналогом теоремы Линдемана — Вейерштрасса о трансцендентности .
Круговые расширения Карлица Для любого ненулевого многочлена можно рассмотреть множество корней многочлена в алгебраическом замыкании поля : . Множество (называемое модулем -кручения) изоморфно как -модуль. Присоединение всех элементов к базовому полю даёт расширение Галуа , называемое круговым (циклотомическим) расширением Карлица.
Группа Галуа этого расширения изоморфна группе обратимых элементов факторкольца: . Хейс доказал, что любое конечное абелево расширение поля (с некоторыми условиями ветвления на бесконечности) содержится в круговых расширений Карлица и расширений констант, что является полным аналогом теоремы Кронекера — Вебера.
Дзета-значения Карлица Модуль Карлица тесно связан с теорией дзета-функций Госса (аналогом дзета-функции Римана для глобальных функциональных полей). Дзета-значение Карлица в целой точке определяется как: , где — множество всех нормированных (унитарных) многочленов в . Карлиц доказал аналог теоремы Эйлера для чётных значений дзета-функции: если делится на (порядок группы ), то отношение:
принадлежит , причём это отношение можно вычислить явно в виде рациональной функции от .
См. также Штука Дринфельда
Примечания
Литература
Категория:Арифметическая геометрия Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Теория чисел Категория:Арифметика функциональных полей Категория:Конечные поля