«Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность» () — статья Чжэньнин Янга и Роберта Л. Миллса, опубликованная 1 октября 1954 года в журнале «Physical Review». Рукопись поступила в редакцию 28 июня 1954 года.

Непосредственной темой статьи была попытка объяснить сохранение изотопического спина и построение полевой модели сильного взаимодействия нуклонов. Янг и Миллс предложили заменить глобальную инвариантность относительно вращений в изотопическом пространстве локальной инвариантностью, допускающей независимый выбор изотопических осей в каждой точке пространства-времени. Для реализации этой инвариантности они ввели новое векторное поле, кванты которого должны были переносить изотопический спин и взаимодействовать друг с другом.

В современной историографии статья рассматривается как первая опубликованная четырёхмерная формулировка неабелевой калибровочной теории. При этом историки различают конкретную модель, предложенную Янгом и Миллсом для изотопического спина в 1954 году, и более широкий класс теорий, позднее получивший название теорий Янга — Миллса.

Предыстория Понятие изотопического спина было введено Вернером Гейзенбергом в 1932 году после открытия нейтрона. Протон и нейтрон стали рассматриваться как два зарядовых состояния одной частицы — нуклона. Такое описание позволяло выразить приблизительную независимость ядерных сил от электрического заряда нуклона. К началу 1950-х годов изотопический спин использовался для классификации нуклонов, пионов и их взаимодействий. Протон и нейтрон образовывали изотопический дублет, а три зарядовых состояния пиона — триплет. Экспериментальные данные о нуклон-нуклонном и пион-нуклонном рассеянии поддерживали представление о приблизительном сохранении полного изотопического спина в сильных взаимодействиях. В этом употреблении изотопическое вращение было глобальной симметрией: одно и то же преобразование применялось ко всей системе во всех точках пространства-времени. Симметрия прежде всего связывала наблюдаемые процессы и позволяла классифицировать состояния. В статье Янга и Миллса её функция была изменена: изотопическая симметрия стала не только правилом классификации, но и принципом, определяющим допустимую форму взаимодействия.

В квантовой электродинамике было известно, что локальное изменение фазы волновой функции заряженной частицы должно сопровождаться преобразованием электромагнитного потенциала. В 1926 году Владимир Фок записал совместное преобразование волновой функции и электромагнитных потенциалов, а в 1929 году Герман Вейль представил фазовую калибровочную инвариантность как общий физический принцип. Электромагнитная калибровочная группа была коммутативной. Последовательность двух фазовых преобразований не зависела от их порядка. Вращения изотопического спина, напротив, в общем случае не коммутировали. Поэтому перенос электромагнитного калибровочного принципа на изотопическое пространство требовал изменения выражения для напряжённости поля и приводил к самодействию нового поля. В статье 1954 года конструкция изложена через аналогию с электромагнитной фазой, матрицы изотопических вращений и требование ковариантного преобразования производной волновой функции.

Замысел локализации изотопических вращений принадлежал Янгу. По его позднейшим воспоминаниям, ещё во время изучения квантовой теории поля его привлекала связь между сохранением электрического заряда, существованием электромагнитного тока и формой электромагнитного взаимодействия. Он пытался перенести эту связь на другие сохраняющиеся квантовые числа, прежде всего на изотопический спин. В 1953—1954 годах Янг работал в Брукхейвенской национальной лаборатории, где делил кабинет с Миллсом. Согласно ретроспективному изложению Миллса, Янг сообщил ему идею обобщения калибровочной инвариантности, после чего они совместно разрабатывали формализм. Миллс связывал собственный вклад главным образом с процедурой квантования и отдельными техническими частями вычислений, считая основную физическую идею принадлежащей Янгу. Такое распределение вклада известно преимущественно из позднейших воспоминаний участников. Поэтому в исторической литературе оно рассматривается как свидетельство авторов, а не как полностью независимая реконструкция процесса работы.

Содержание Статья состоит из «Введения» и четырёх основных частей: «Изотопическое калибровочное преобразование», «Уравнения поля», «Квантование» и «Свойства b квантов». Последовательность разделов отражает исследовательскую логику авторов: от физической аналогии с электродинамикой — к построению преобразований, динамических уравнений, квантовой теории и предполагаемых свойств новых частиц.

Введение Янг и Миллс начинали с обычной интерпретации протона и нейтрона как двух состояний нуклонного поля. При пренебрежении электромагнитным взаимодействием выбор направления, которое называется «протонным» в изотопическом пространстве, не должен иметь физического значения. Авторы, однако, указывали, что глобальная инвариантность оставляет выбор изотопических осей произвольным только один раз для всей системы. После выбора протонного и нейтронного направлений в одной точке формализм не позволял независимо изменить этот выбор в другой точке. Они сочли такое положение несогласованным с локальным характером полевой теории и предложили считать физически незначимым независимый выбор изотопических осей в каждой точке пространства-времени.

Это рассуждение не было выводом локальной симметрии из экспериментальных данных. Оно представляло собой эвристический «калибровочный аргумент»: локальная произвольность описания принималась как принцип, а затем использовалась для определения структуры компенсирующего поля. С историографической точки зрения именно этот переход — от наблюдаемого закона сохранения к локальному принципу построения взаимодействия — составлял главную концептуальную новизну статьи.

Изотопическое калибровочное преобразование Нуклонное поле Янг и Миллс представляли двухкомпонентной волновой функцией . Локальное вращение в изотопическом пространстве записывалось в принятой в статье конвенции как

где  — унитарная матрица размера с единичным определителем. В современной терминологии такие матрицы образуют группу , однако в исходной статье авторы работали преимущественно с матричным представлением преобразований, а не с абстрактным языком групп Ли.

Обычная производная при зависящем от координат преобразовании не преобразуется так же, как сама функция . Поэтому авторы заменили её комбинацией

где  — новое матричное поле, а  — константа связи. Требование ковариантного преобразования этой комбинации определяло преобразование поля:

Первый член этого выражения отличает конструкцию от электромагнитной калибровочной теории. Поскольку матрицы и в общем случае не коммутируют, поле преобразуется не только с добавлением градиентного члена, но и посредством сопряжения матрицей . По аналогии с электромагнитным тензором Янг и Миллс искали величину, преобразующуюся однородно:

Они определили её как

Коммутаторный член отсутствует в электродинамике, поскольку её калибровочная группа абелева. В модели Янга и Миллса этот член был необходим для выполнения закона преобразования поля. Он же делал уравнения нелинейными даже в отсутствие нуклонного поля. Далее показано, что существенная часть матричного поля может быть записана как

где  — генераторы изотопических вращений в соответствующем представлении, а  — трёхкомпонентный вектор в изотопическом пространстве. Напряжённость принимала вид

Векторное произведение в последнем члене выражало самодействие поля. В отличие от фотона, не несущего электрического заряда, кванты нового поля сами обладали изотопическим спином и поэтому выступали источниками того же поля. В позднейшей литературе именно формула для обычно представляется как центральный объект теории Янга — Миллса. В структуре статьи 1954 года она была частью более конкретного рассуждения: авторы искали аналог электромагнитной напряжённости, совместимый с локальными вращениями протон-нейтронного дублета. Янг и Миллс потребовали, чтобы поля с одинаковым полным изотопическим спином, но относящиеся к различным представлениям группы вращений, взаимодействовали с одним и тем же полем . Тем самым константа связи и структура взаимодействия задавались локальной инвариантностью, а не выбирались независимо для каждого типа частиц. Эта часть рассуждения была аналогом универсальности электрического заряда в электродинамике. Однако изотопический «заряд» имел несколько некоммутирующих компонент. Поле не только переносило этот заряд, но и само ему подчинялось. В историографических реконструкциях это рассматривается как переход от калибровочной инвариантности, ограничивающей взаимодействие материи с внешним полем, к калибровочной теории, в которой симметрия одновременно определяет динамику самого переносчика взаимодействия.

Уравнения поля Для поля авторы построили лагранжеву плотность, содержащую квадратичный по член и взаимодействие с нуклонным полем.

Из неё были получены нелинейные уравнения движения.

где ток определяется как

При этом нуклонный ток отдельно не сохранялся:

Янг и Миллс определили полный изотопический ток как

для которого выполнялось уравнение непрерывности

Тем самым сохраняющийся изотопический спин относился к совокупности нуклонного и калибровочного полей, а не только к нуклонному току. Обычный ток нуклонного поля не сохранялся отдельно. Янг и Миллс добавили к нему вклад самого поля и получили полный изотопический ток, удовлетворяющий уравнению непрерывности. Таким образом, сохраняющийся изотопический спин принадлежал совокупности материи и калибровочного поля, а не только нуклонам. Для авторов это было существенным подтверждением исходной аналогии. Как электромагнитное поле связано с электрическим током и зарядом, так и новое поле должно было быть связано с полным изотопическим током. Неабелева структура изменяла эту аналогию, поскольку само поле вносило вклад в сохраняющийся заряд.

Квантование Данный раздел иллюстрирует раннюю программу квантовой теории неабелева поля с возможностью её включения в использовавшуюся в начале 1950-х годов схему канонического квантования и теорию возмущений Фейнмана — Дайсона. В статье использовались соглашения и . Компоненты , и считались вещественными, а  — чисто мнимой; полужирные символы обозначали векторы в изотопическом пространстве. Перед выполнением квантования авторы дополнили уравнения движения условием

которое назвали «дополнительным условием» и указывали, что оно устраняет скалярную часть векторного поля . По своей форме оно соответствовало условию Лоренца в электродинамике, однако в неабелевом случае его сохранение при калибровочном преобразовании накладывало зависящее от поля ограничение на функцию преобразования. Исходная плотность лагранжиана, записанная через калибровочно-ковариантную напряжённость , была явно изотопически калибровочно-инвариантной. Однако Янг и Миллс сочли её неудобной для непосредственного применения канонической процедуры. По аналогии с тогдашним квантованием электромагнитного поля они перешли к плотности лагранжиана, которую характеризовали как «не очевидно калибровочно-инвариантную»:

Здесь  — константа связи,  — нуклонный изотопический дублет, а

— ток изотопического спина нуклонного поля.

Первый член лагранжиана является квадратичным по полю и задаёт его свободное распространение. Второй член кубичен по и описывает взаимодействие трёх квантов поля. Третий член имеет четвёртую степень по полю и приводит к четырёхполевому взаимодействию. Член связывает поле с нуклонным изотопическим током. Таким образом, существование трёх- и четырёхполевых вершин не вводилось как отдельное феноменологическое предположение, а следовало из коммутаторной части неабелевой напряжённости поля.

Чтобы обосновать переход от явно инвариантного лагранжиана к этой форме, авторы ввели величину

Из уравнений Эйлера — Лагранжа для новой плотности они получили