Двухъямный потенциал — один из потенциалов четвёртой степени для исследования различных физических явлений в квантовой механике и математических свойств, поскольку во многих случаях он допускает точный расчёт без излишних упрощений.

В частности, симметричный двухъямный потенциал служит моделью для иллюстрации концепции инстантонов как псевдоклассической конфигурации в евклидовой теории поля.S. Coleman, The Whys of Subnuclear Physics, ed. A. Zichichi (Plenum Press, 1979), 805—916; S. Coleman, The Uses of Instantons, 1977 International School of Subnuclear Physics, Ettore Majorana. В более простом квантовомеханическом контексте этот потенциал применялся для вычисления интегралов по траекториям и решения уравнения Шрёдингера различными методами с целью явного получения собственных значений энергии. С другой стороны, перевёрнутый симметричный двухъямный потенциал используется как нетривиальный потенциал в уравнении Шрёдингера для расчёта скоростей распада и исследования поведения асимптотических разложений в высоких порядках. Третья форма потенциала четвёртой степени — возмущённый простой гармонический осциллятор или чистый ангармонический осциллятор, обладающий чисто дискретным спектром энергии. Четвёртый возможный тип потенциала — асимметричный вариант двухъямного потенциала.

Двухъямный и другие потенциалы четвёртой степени можно исследовать различными методами, среди которых основные: (a) метод теории возмущений (метод Роберта Бэлсона Дингла и Харальда Мюллер-Кирстена в этой ссылке метод теории возмущений разработан для косинусного потенциала, то есть для уравнения Матьё; см. функции Матьё.), требующий наложения граничных условий, (б) метод ВКБ и (в) метод интегралов по траекториям. Все случаи подробно рассмотрены в книге Мюллер-Кирстена.Harald J.W. Müller-Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2nd ed., (World Scientific, 2012, ) Поведение асимптотических разложений функций Матьё и их собственных значений (также называемых характеристическими числами) в высоких порядках было получено в последующей работе Дингла и Мюллер-Кирстена.R.B. Dingle and H.J.W. Müller, The Form of the Coefficients of the Late Terms in Asymptotic Expansions of the Characteristic Numbers of Mathieu and Spheroidal Wave Functions, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216 (1964) 123—133. See also: H.J.W. Müller-Kirsten, ``Perturbation Theory, Level Splitting and Large-Order Behavior´´, Fortschritte der Physik 34 (1986) 775—790.

Симметричный двухъямный потенциал Основной интерес в литературе (по причинам, связанным с теорией поля) сосредоточен на симметричном двухъямном потенциале, и в частности на квантовомеханическом основном состоянии. Поскольку здесь имеет место туннелирование через центральный барьер потенциала, расчёт собственных энергий уравнения Шрёдингера для этого потенциала нетривиален. Случай основного состояния описывается псевдоклассическими конфигурациями, известными как инстантон и антиинстантон. В явном виде они представляют собой гиперболические функции. Как псевдоклассические конфигурации, они естественно возникают при квазиклассических рассмотрениях; при этом суммирование (широко разделённых) пар инстантон-антиинстантон известно как приближение разреженного газа. Итоговая собственная энергия основного состояния содержит экспоненту от евклидова действия инстантона. Это выражение включает множитель и потому описывается как (классически) непертурбативный эффект.

Устойчивость инстантонной конфигурации в теории интегралов по траекториям теории скалярного поля с самодействием в виде симметричного двухъямного потенциала исследуется с помощью уравнения малых колебаний вокруг инстантона. Это уравнение — уравнение Пёшля — Теллера (то есть дифференциальное уравнение второго порядка, аналогичное уравнению Шрёдингера с потенциалом Пёшля — Теллера) с неотрицательными собственными значениями. Неотрицательность собственных значений указывает на устойчивость инстантона.

Как отмечено выше, инстантон — это псевдочастичная конфигурация, определённая на бесконечной прямой евклидова времени, которая связывает две ямы потенциала и отвечает за основное состояние системы. Конфигурации, соответственно отвечающие за более высокие (возбуждённые) состояния, — это периодические инстантоны, определённые на окружности евклидова времени, которые в явном виде выражаются через эллиптические функции Якоби (обобщение тригонометрических функций). Вычисление интеграла по траекториям в этих случаях включает эллиптические интегралы. Уравнение малых флуктуаций вокруг таких периодических инстантонов — это уравнение Ламе, решениями которого выступают функции Ламе. В случаях неустойчивости (как для перевёрнутого двухъямного потенциала) это уравнение обладает отрицательными собственными значениями, что указывает на неустойчивость (распад).

Применение метода теории возмущений Дингла и Мюллера (первоначально разработанного для уравнения Матьё — уравнения Шрёдингера с косинусным потенциалом) требует использования параметрических симметрий уравнения Шрёдингера для потенциала четвёртой степени. Разложение проводится около одного из двух минимумов потенциала. Кроме того, этот метод требует сшивания различных ветвей решений в областях перекрытия. Наложение граничных условий в итоге даёт (как и в случае периодического потенциала) непертурбативный эффект.

Через параметры уравнения Шрёдингера для симметричного двухъямного потенциала в следующем виде:

собственные значения для принимают вид (см. книгу Мюллер-Кирстена, формула (18.175b), с. 425):

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически вырождены (), как и ожидается исходя из гармонической части потенциала. Заметим, что члены пертурбативной части результата являются попеременно чётными или нечётными по и (как и в соответствующих результатах для функций Матьё, функций Ламе, вытянутых сфероидальных волновых функций, сплюснутых сфероидальных волновых функций и др.).

В контексте теории поля приведённый выше симметричный двухъямный потенциал часто записывают в виде (где  — скалярное поле):

а инстантон — это решение уравнения ньютоновского типа

(где  — евклидово время), то есть:

Уравнение малых флуктуаций относительно представляет собой уравнение Пёшля — Теллера (см. Потенциал Пёшля — Теллера):

где

Поскольку все собственные значения неотрицательны, инстантонная конфигурация устойчива и распад отсутствует.

В более общем случае классическое решение — периодический инстантон:

где  — эллиптический модуль периодической эллиптической функции Якоби . Уравнение малых флуктуаций в этом общем случае — уравнение Ламе. В пределе решение переходит в вакуумное инстантонное решение:

Перевёрнутый двухъямный потенциал Теория возмущений наряду со сшиванием решений в областях перекрытия и наложением граничных условий (отличных от условий для двухъямного потенциала) также позволяет получить собственные значения уравнения Шрёдингера для этого потенциала. В этом случае, однако, разложение выполняется вокруг центрального минимума/максимума потенциала, поэтому результаты отличаются от приведённых выше.

Через параметры уравнения Шрёдингера для перевёрнутого двухъямного потенциала в следующем виде:

собственные значения для принимают вид (см. книгу Мюллер-Кирстена, формула (18.86), с. 503):

Мнимая часть этого выражения согласуется с результатом К. М. Бендера и Т. Т. Ву (см. их формулу (3.36) при и обозначениях ). Этот результат играет важную роль в обсуждении и исследовании поведения теории возмущений в высоких порядках.

Чистый ангармонический осциллятор Через параметры уравнения Шрёдингера для чистого ангармонического осциллятора в следующем виде:

собственные значения для принимают вид:

Дальнейшие члены легко вычисляются аналогично. Коэффициенты разложения являются попеременно чётными или нечётными по и , как и во всех остальных случаях, что представляет собой важную особенность решений дифференциального уравнения для потенциалов четвёртой степени.

Общие замечания Приведённые выше результаты для двухъямного и перевёрнутого двухъямного потенциалов также могут быть получены методом интегралов по траекториям (с помощью периодических инстантонов, ср. инстантоны) и методом ВКБ, хотя и с использованием эллиптических интегралов и приближения Стирлинга для гамма-функции, что усложняет расчёт. Свойство симметрии пертурбативной части при замене q → -q, → - строгим образом получается только при выводе из уравнения Шрёдингера, которое выступает более надёжным способом получения результата. Этот вывод подтверждается исследованиями других дифференциальных уравнений второго порядка (таких как уравнение Матьё и уравнение Ламе), проявляющих аналогичные свойства в уравнениях для собственных значений. Более того, во всех этих случаях (двухъямный потенциал, перевёрнутый двухъямный потенциал, косинусный потенциал) уравнение малых флуктуаций относительно классической конфигурации оказывается уравнением Ламе.

Примечания

Категория:Квантовая механика