Алгебраическая квантовая теория поля (АКТП) — это применение теории C*-алгебр к локальной квантовой физике. Её также называют аксиоматическим подходом Хаага — Кастлера в квантовой теории поля, поскольку она была предложена Рудольфом Хаагом и Даниэлем Кастлером в 1964 году. Аксиомы формулируются в терминах алгебры, сопоставленной каждому открытому множеству в пространстве Минковского, и отображений между этими алгебрами.
Аксиомы Хаага — Кастлера Пусть — множество всех открытых ограниченных подмножеств пространства Минковского. Алгебраическая квантовая теория поля определяется посредством семейства алгебр фон Неймана , действующих в общем гильбертовом пространстве и удовлетворяющих следующим аксиомам: Изотония: влечет . Причинность: если и разделены пространственноподобным интервалом, то . Пуанкаре-ковариантность: на гильбертовом пространстве существует сильно непрерывное унитарное представление группы Пуанкаре , такое что Спектральность: совместный спектр оператора энергии-импульса (то есть генератора пространственно-временных трансляций) содержится в замкнутом световом конусе будущего. Существование и цикличность вакуума: существует циклический и инвариантный относительно преобразований Пуанкаре вектор . Все алгебры называются локальными алгебрами, а C*-алгебра называется квазилокальной алгеброй.
Теоретико-категорная формулировка Пусть Mink — категория открытых подмножеств пространства Минковского M, морфизмами в которой служат . Задан ковариантный функтор из Mink в uC*alg — категорию унитальных C*-алгебр, — такой, что каждый морфизм в Mink переходит в мономорфизм в uC*alg («условие изотонности»). Группа Пуанкаре действует непрерывно на Mink. Существует обратный образ этого действия, непрерывный в топологии пространства (Пуанкаре-ковариантность). Пространство Минковского обладает . Если открытое множество $V$ лежит в причинно-следственном дополнении открытого множества U, то образы отображений и коммутируют (пространственноподобная коммутативность). Если — причинно-следственное замыкание открытого множества U, то является изоморфизмом (примитивная причинно-следственная связь). на C*-алгебре называется на ней, имеющий единичную норму. Если задано состояние на , то, используя направленный мономорфизм, можно взять частичный след и получить состояния, связанные с для каждого открытого множества. Состояния, определённые на открытых множествах, образуют структуру предпучка. Согласно конструкции ГНС (GNS), каждому состоянию можно сопоставить представление алгебры в гильбертовом пространстве. Чистым состояниям соответствуют неприводимые представления, а смешанным состояниям — приводимые представления. Каждое неприводимое представление (с точностью до эквивалентности) называется сектором суперселекции. Мы предполагаем существование чистого состояния, называемого вакуумом, такого, что соответствующее ему гильбертово пространство реализует группы Пуанкаре, согласованное с пуанкаре-ковариантностью в данной системе координат; при этом спектр операторов энергии-импульса (соответствующих трансляциям в пространстве-времени) лежит на положительном световом конусе или внутри него. Это вакуумный сектор.
Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени В последнее время этот подход был распространён на алгебраическую формулировку квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Действительно, подход, характерный для локальной квантовой физики, особенно удобен для обобщения процедуры перенормировки на случай квантовых полей, заданных на искривленном фоне. Был получен ряд строгих результатов, касающихся квантовой теории поля в присутствии черной дыры.
Примечания
Литература
Ссылки Local Quantum Physics Crossroads 2.0 — A network of scientists working on local quantum physics Papers — A database of preprints on algebraic QFT Algebraic Quantum Field Theory — AQFT resources at the University of Hamburg Категория:Аксиоматическая квантовая теория поля