Полево́й опера́тор, или опера́тор ква́нтового по́ля, — операторнозначное поле, используемое в квантовой теории поля и теории многих частиц. В отличие от классического поля, которое сопоставляет точкам пространства-времени числовые значения, квантовое поле сопоставляет им операторы, действующие в гильбертовом пространстве квантовых состояний . Строго говоря, квантовое поле обычно рассматривается не как обычная операторнозначная функция точки, а как операторнозначное распределение .
Полевой оператор не следует отождествлять с волновой функцией. Волновая функция является представлением квантового состояния в выбранном базисе, тогда как полевой оператор действует на состояния системы. В частности, в представлении с переменным числом частиц полевые операторы могут создавать и уничтожать частицы.
Каноническое квантование поля При каноническом квантовании классическое поле и канонически сопряжённое ему поле
заменяются операторами и , действующими в пространстве состояний .
Для действительного скалярного бозонного поля при равных временах выполняются канонические коммутационные соотношения , ,
где используются естественные единицы .
Для фермионных полей вместо коммутаторов используются антикоммутаторы. Например, для квантованного поля Дирака при равных временах , а антикоммутаторы двух операторов или двух равны нулю .
Свободное скалярное поле Простейшим примером полевого оператора является оператор свободного действительного скалярного поля. При одном из распространённых соглашений о нормировке он имеет разложение ,
где , а и — соответственно операторы уничтожения и рождения кванта поля с импульсом . Они удовлетворяют соотношениям .
Вакуумное состояние определяется условием , а одночастичное состояние с заданным импульсом получается действием оператора рождения на вакуум: .
Таким образом, уже оператор свободного поля содержит как часть, уничтожающую частицы, так и часть, создающую их. Для комплексного скалярного поля операторы положительной и отрицательной частоты связаны соответственно с частицами и античастицами; само комплексное поле при этом не является самосопряжённым.
Полевые операторы во вторичном квантовании Понятие полевого оператора используется также в нерелятивистской квантовой теории многих частиц и формализме вторичного квантования. Если — полный одночастичный базис, оператор уничтожения частицы в точке можно формально записать как ,
а сопряжённый оператор рождения — .
Для бозонов эти операторы удовлетворяют , тогда как для фермионов соответствующее соотношение имеет вид .
Оператор
интерпретируется как оператор плотности числа частиц, а его интеграл по пространству даёт оператор полного числа частиц .
Несмотря на историческое название «вторичное квантование», речь не идёт о повторном квантовании уже существующей волновой функции. Формализм представляет собой квантовое описание поля, пространство состояний которого допускает различное число частиц.
Локальность Одним из основных требований релятивистской квантовой теории поля является локальность. Полевые операторы, соответствующие бозонным степеням свободы, коммутируют при пространственноподобном разделении точек: .
Для фермионных полей соответствующее условие формулируется с помощью антикоммутаторов. В то же время наблюдаемые, относящиеся к пространственноподобно разделённым областям, должны коммутировать, что обеспечивает невозможность передачи физического сигнала быстрее скорости света.
Операторнозначные распределения Запись удобна в физических вычислениях, однако в математически строгой квантовой теории поля оператор поля в отдельной точке пространства-времени в общем случае не является корректно определённым оператором гильбертова пространства. Вместо него рассматривается поле, усреднённое с пробной функцией : .
Такой объект рассматривается как оператор на плотной области определения в гильбертовом пространстве. Поэтому квантовые поля называют операторнозначными распределениями.
С распределительным характером полевых операторов связана, в частности, проблема произведений полей в одной и той же точке. Формальные выражения вида в общем случае требуют дополнительного определения посредством регуляризации и перенормировки; корректно определённые объекты такого типа называют составными операторами .
Полевой оператор и наблюдаемые Полевой оператор сам по себе не обязательно является наблюдаемой. Например, оператор действительного скалярного поля является самосопряжённым, тогда как комплексное скалярное поле или поле Дирака самосопряжёнными не являются. Физические наблюдаемые строятся из подходящих самосопряжённых комбинаций полей; в калибровочных теориях от наблюдаемых дополнительно требуется соответствующая калибровочная инвариантность.
См. также Квантовое поле Квантовая теория поля Вторичное квантование Операторы рождения и уничтожения Пространство Фока Каноническое квантование Волновая функция
Примечания
Литература
Категория:Квантовая теория поля Категория:Квантовая механика