Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.
Дикие узлы можно найти в некоторых кельтских узорах.
Поскольку узел в общем случае — это разновидность жордановой кривой в ℝ3, а жордановы кривые бывают необычные (например, имеющие площадь), то ручные узлы можно завязать на верёвке конечной длины и толщины, а дикие — все остальные.
Определение Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полнотория S1 × D2, допускающего вложение в 3-сферу.
В теории узлов и в теории 3-многообразий часто слово «ручной» опускается.
Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.
Примеры
Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в . Например, для дуги фундаментальная группа () нетривиальна, для дуги группа тривиальна, но само не гомеоморфно дополнению в к точке.
На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге Сосинского приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество. Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье Антуана.
Свойства Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечной ломаной. Гладкие узлы являются ручными.
Вариации и обобщения Нетривиальные дикие узлы появляются и в сферах старших размерностей. Например по теореме о двойной надстройке, двойная надстройка над сферой Пуанкаре гомеоморфна стандартной сфере . При этом экватор двойной надстройки образует в дикой узел и его дополнение имеет нетривиальную фундаментальную группу.
См. также Дикая сфера
Примечания
Литература
Категория:Теория узлов