Математическая экономика — сфера теоретической и прикладной научной деятельности, целью которой является математически формализованное изучение экономических объектов, процессов и явлений. Наряду с простейшими геометрическими методами в рамках математической экономики применяется инструментарий интегрального и дифференциального исчисления, матричной алгебры, математического программирования, прочие вычислительные методы, составляются и решаются рекуррентные и дифференциальные уравнения TOC. .
Язык математики позволяет экономистам формулировать содержательные и проверяемые, т.е. тестируемые, гипотезы о многих сложных явлениях, описание которых без привлечения математического аппарата представляется затруднительнымDebreu, Gérard ( 2008). «mathematical economics», section II, The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract. Republished with revisions from 1986, «Theoretic Models: Mathematical Form and Economic Content», Econometrica, 54(6), pp. 1259 -1270.. Более того, противоречивая природа некоторых экономических явлений делает их исследование невозможным без использования математикиVarian, Hal (1997). «What Use Is Economic Theory?» in A. D’Autume and J. Cartelier, ed., Is Economics Becoming a Hard Science?, Edward Elgar. Pre-publication PDF. Retrieved 2008-04-01.. Ныне значительная часть теоретических экономических взаимосвязей нашла отражение в математических моделях• As in Handbook of Mathematical Economics, 1st-page chapter links: Arrow, Kenneth J., and Michael D. Intriligator, ed., (1981), v. 1 _____ (1982). v. 2 _____ (1986). v. 3 Hildenbrand, Werner, and Hugo Sonnenschein, ed. (1991). v. 4. • Debreu, Gérard (1983). Mathematical Economics: Twenty Papers of Gérard Debreu, Contents . • Glaister, Stephen (1984). Mathematical Methods for Economists, 3rd ed., Blackwell. Contents. • Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics, 2nd ed. Cambridge. Description and Contents . • Michael Carter (2001). Foundations of Mathematical Economics, MIT Press. Description and Contents ..
Математическая экономика позволила усовершенствовать многие методики экономического исследования, среди них: равновесный анализ, в рамках которого отдельные субъекты и крупные экономические системы представляются статическими объектами; сравнительная статикаСравнительная статика — Лопатников — Яндекс. Словари , то есть компаративный анализ равновесных состояний; динамический анализ, то есть исследование траекторий перехода между состояниями равновесияChiang, Alpha C. (1992). Elements of Dynamic Optimization, Waveland. TOC & Amazon.com link to inside, first pp..
Методы математического моделирования экономических явлений и процессов обширно применяются с XIX века. Одним из первых распространённых инструментов стало дифференциальное исчисление: экономисты изучали процедуру максимизации полезности домохозяйств. Именно тогда арсенал экономиста-исследователя пополнили методы математической оптимизации — прикладной математической дисциплины о поиске экстремальных значений переменных. Развитие методов оптимизации продолжилось в первой половине XX века. В середине столетия, ввиду требований военного времени, область применения математических методов в экономике стала ещё шире. С 50-х годов важнейшим инструментом экономического моделирования стала теория игр• Debreu, Gérard ( 2008). «mathematical economics», The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract. Republished with revisions from 1986, «Theoretic Models: Mathematical Form and Economic Content», Econometrica, 54(6), pp. 1259 -1270. • von Neumann, John, and Oskar Morgenstern (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press..
Процесс стремительной систематизации экономической теории критиковался многими авторитетными учёными. Кейнс, Хайек и другие именитые экономисты считали, что не всякий аспект экономического поведения поддаётся формализации.
Классификация методов и объектов Согласно Математической предметной классификации, математическая экономика входит в прикладную категорию № 91: 91 — Теория игр, экономика, общественные науки, поведенческие науки
Коды типа 91Axx закреплены за подразделом «Теория игр», коды типа 91Bxx — за подразделом «Математическая экономика».
Четырёхтомник Handbook of Mathematical Economics издательства Elsevier разделяет «математические методы в экономике» и «области экономики», где используется математикаHandbook of Mathematical Economics, 1st-page chapter links for: • Kenneth J. Arrow and Michael D. Intriligator, ed., (1981), v. 1 • _____ (1982). v. 2 • _____ (1986). v. 3 • Werner Hildenbrand and Hugo Sonnenschein, ed. (1991). v. 4. ..
Такое же разделение присутствует в «Новом экономическом словаре» издательства Palgrave. Предметный указатель содержит две категории для связанных с математикой статей: «Математическая экономика» включает 24 статьи, в том числе «ацикличность», «проблема агрегирования», «сравнительная статика», «лексикографическое упорядочение», «линейные модели», «упорядочения» и «качественная экономика»; «Математические методы» включает 42 статьи, в том числе «вариационное исчисление», «теория катастроф», «комбинаторика», «вычисление общего равновесия», «выпуклость», «выпуклое программирование», «стохастическое оптимальное управление».
Достаточно распространена кодовая классификация JEL, первоначально составленная редакцией журнала Journal of Economic Literature для категоризации книг и статей. Классификация JEL совместима с типологией «Нового экономического словаря»; ниже приведены ссылки на соответствующие разделы в онлайн-версии «Нового»Категории типа «общая» и «прочее» опущены..
JEL: C01 — Эконометрика
JEL: C02 — Математические методы
JEL: C6 — Математические методы; Модели программирования; Математическое и имитационное моделированиеThe JEL Classification Codes Guide for JEL: 6 has this comment: «Covers studies about general issues related to mathematical methods that are of interest to economists.» JEL: C61 — Методы оптимизации; Модели программирования; Динамический анализ JEL: C62 — Условия существования и стабильности равновесия JEL: C63 — Вычислительные методы; Имитационное моделирование JEL: C67 — Модели межотраслевого баланса JEL: C68 — Вычислимые модели общего равновесия
JEL: C7 — Теория игр и теория переговоров JEL: C71 — Кооперативные игры JEL: C72 — Некооперативные игры JEL: C73 — Стохастические и динамические игры; Эволюционные игры; Повторяющиеся игры JEL: C78 — Теория переговоров; Теория паросочетаний
Современная математическая экономика Современная экономика полагается на математический анализ и матричную алгебру, в отсутствие которых описать экономические явления было бы сложнее. Ныне этот инструментарий используется не только экономистами математической школы, но и любыми теоретиками, осуществляющими формальное исследование. В некоторых задачах имеется столько переменных, что математика становится единственным возможным способом решения. Альфред Маршалл утверждал, что любое экономическое явление, которые можно квантифицировать и выразить аналитически, следует подвергать математическому изучению.
Математический инструментарий экономики постепенно усложнялся. Современные магистерские программы по экономике и финансам требуют существенной математической подготовки. В результате магистрантами и аспирантами в области экономики становятся многие бакалавры математики. Практические задачи экономики нередко решаются прикладными математиками.
Интеграция экономики и математики выражается в построении стилизованных экономических моделей со строго прописанными допущениями и фальсифицируемыми предсказаниями. Если Адам Смит излагал экономическую проблематику неформально, в виде текста, то математическая экономика даёт явлениям строгую формальную интерпретацию.
Вообще говоря, формальные экономические модели можно подразделить по двум критериям: на стохастические и детерминированные, а также на дискретные и непрерывные. Объект экономики как науки весьма обширен, и его исследователи независимо друг от друга создали массу методологий.
Стохастические модели, выраженные в терминах случайных процессов, имитируют изменение наблюдаемых переменных во времени. Большинство эконометрических исследований посвящены тестированию гипотез об этих процессах и оценке их параметров. В период интербеллума Херман Волд разработал представление стационарного случайного процесса как суммы авторегрессионных рядов и детерминированного тренда. Волд, а также Ян Тинберген исследовали экономические данные как временные ряды. Современная теория временных рядов оснащена как более общими (ARCH, GARCH), так и более частными (ARMA) средствами анализа. Детерминированные модели могут строиться на качественном (некоторые аспекты теории общественного выбора), либо количественном уровне (например, построение финансовых переменных в гиперболической системе координат или моделирование функциональных зависимостей между ними). Если прогностическая мощность модели сводится к определению направлений, в которых изменяются переменные, функциональные зависимости будут иметь только качественную интерпретацию. Например, если цена товара или услуги возрастает, ожидается сокращение спроса. Подобные зависимости могут выражаться и без формул — достаточно построить график. Качественные модели распространены в меньшей степени, так как точность их предсказаний невелика. Примером может служить качественное сценарное планирование, когда происходит симуляция возможных будущих событий. Иногда производится нечисловой анализ дерева принятия решений.
Дифференциальное исчисление
Вильфредо Парето анализировал микроэкономические решения агентов как попытку перейти от одного распределения ресурсов к другому, более предпочтительному. Распределение ресурсов считается эффективным (или оптимальным) по Парето, если исчерпана любая возможность улучшить благосостояние одного из индивидов, не ухудшив благосостояние других. Доказательство Парето часто возникает в одном контексте с вальрасовским равновесием, а также гипотезой Адама Смита о «невидимой руке рынка» • . Формулировка Парето является первым известным утверждением теоремы, впоследствии названной первой теоремой благосостоянияBlaug (2007), p. 185, 187.
В своей знаменитой книге «Основания экономического анализа» (1947) Пол Самуэльсон заложил основы многих экономических моделей. Предложенная им математическая структура нашла применение в различных областях экономики. Опираясь на наследие Альфреда Маршалла, Самуэльсон адаптировал математические модели физики к экономической специфике. В этом выражается главная предпосылка математической экономики: поведение экономических агентов можно моделировать и описывать подобно любой другой системе. Так, принцип Ле Шателье и вальрасовский процесс нащупывания (процесс итеративного поиска равновесия) актуальны для систем разного рода, но описываемые ими закономерности подобны. Самуэльсон существенно развил теорию, начала которой заложили маржиналисты. Задачу об оптимизации индивидуальной полезности он рассмотрел с позиций сравнительной статики, когда в результате некого экзогенного изменения формируются и сопоставляются два равновесия. Этот и другие описанные в книге методы стали базисом для математической экономики XX века. Алгоритм вальрасова нащупывания был описан Кеннетом Эрроу и Леонидом Гурвичем в 1958 году. Алгоритм является продуктом имитационного моделирования: по результатам каждой итерации определяются значения полезности, объёмы спроса и предложения, а также избыточного спроса. В очередной итерации виртуальный аукционист предлагает виртуальным участникам новый вектор цен. Конечной целью является отсутствие избыточного спроса (равно как и избыточного предложения) на всех рынках.
Дифференциальные уравнения