Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.
Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).
Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трёхмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.
Существует обобщение этой теоремы для -мерного пространства и ортогональных -симплексов: сумма квадратов всех -мерных объёмов граней, прилегающих к ортогональному углу -симплекса, равна квадрату -мерного объёма грани, противоположной ортогональному углу. Ортогональным углом называется угол -симплекса, все прилегающие к которому -мерные грани попарно ортогональны. Теорема де Гуа является частным случаем этой теоремы для 3-симплексов (то есть тетраэдров), а теорема Пифагора — для 2-симплексов (обычных плоских треугольников).
Доказательства
Доказательство № 1 Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы , и :
где — длины соответствующих сторон тетраэдра.
Для векторов AB и АС имеем:
Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,
Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим
Площади граней ABD, ACD и BCD равны
откуда
Доказательство № 2 Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому
где — направляющие косинусы нормали к плоскости ABC.
Согласно свойству направляющих косинусов
откуда
и
Доказательство № 3 Теорема может быть доказана, исходя из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.
История В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Жаном-Полем де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту и до него , который, вероятно, первым открыл её в 1622 году. В более общем виде теорему сформулировал в докладе Парижской академии наук в 1774 году.
Примечания
Ссылки
Amir-Moéz, A.R.; Byerly, R.E. Pythagorean theorem in unitary spaces. — Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 7 (1996), 85–89. Cho, E.C. Pythagorean theorems on rectangular tetrahedron. — Appl. Math. Lett., vol. 4 (1991), no. 6, 37–38. Czyżewska, K. Generalization of the Pythagorean theorem. — Demonstratio Math., vol. 24 (1991), no. 1-2, 305–310. Lin, S-Y T.; Lin, Y-F. The n-Dimensional Pythagorean Theorem. — Linear and multilinear algebra, vol. 26, no. 1/2, 1990 Yoshinaga, E.; Akiba, S. Very simple proofs of generalized Pythagorean theorem. — Sci. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I Math. Phys. Chem., No. 42 (1995), 45–46. Peter Wakefield Sault A 3D analogue of Phythagoras's theorem. Istvan Meder Pythagorean Theorem in the n-dimensional space P. S. Donchian and H. S. M. Coxeter An n-dimensional extension of Pythagoras’ Theorem. Math. Gazette, 19:206, 1935. J.-P. Quadrat, J. B. Lassere, and J.-B. Hiriart-Urruty Pythagoras’ theorem for areas. American Mathematical Monthly, 108:549–551, 2001.
Категория:Стереометрия Де Гуа